第十五次课 相似矩阵及矩阵的对角化.ppt

§ 相似矩阵一、相似矩阵的概念二、相似矩阵的性质三、 n 阶矩阵与对角矩阵相似的充要条件一、相似矩阵的概念定义 1设A,B为n阶方阵,如果存在可逆矩阵 P,使得 P – 1 A P = B 成立,则称矩阵 A与B相似,记为 A?B。称 P为相似变换矩阵。相似关系是矩阵间的一种等价关系,即满足自反性: A ?A , 对称性: 若A?B,则B ?A 传递性:若 A?B,B ?C, 则A ??C 1. 如果方阵 A与B相似,则它们有相同的特征多项式,从而有相同的特征值。即若A?B,则|?E-A |=|?E-B| |?E-B| =|P -1(?E)P -P -1 AP | =|?E-P -1 AP | =|P -1(?E-A)P| =|P -1|?|?E-A|?|P| =|?E-A|, 二、相似矩阵的性质 A与B有相同的特征多项式, 所以它们有相同的特征值。 2. 相似矩阵的行列式相等。即若 A~B ,则|A|=|B| |B| =|P -1 AP|=|P -1 | |A| |P|=|A| |P -1 P| =|A| 证明: 因为 P -1 AP =B, 。即若 A~B ,则 1 1 1 n n n i i i i i i i i a b ?? ??? ?? ?? ,或者都不可逆。若都可逆,其逆矩阵也相似。 5. 相似矩阵有相同的秩。即若 A~B ,则 R(A) =R (B) 注意:以上性质均为相似的必要条件,可以用来排除哪些矩阵不相似。的所有的特征值。是, 相似,则与对角阵、若,A An n???????? 21 2 16????????????????思考题若与相似则与相似为正整数? , m m A B A B m 例5 若A相似于对角阵?,则存在可逆阵P,使则 A= P ??P ?1??????????? A 2 = (P ??P ? 1 )( P ??P ?1)= P? 2?P ? 1 , A 3=A 2A=(P? 2?P ?1)( P ??P ?1)= P? 3P ? 1 , A m=P ?? m?P ?1 证明因为A相似于对角阵?,故存在可逆阵P,使 P ? 1 A P ???, 一般的: A m=P ?? m?P ?1。利用对角矩阵计算矩阵多项式, 1P PB A ??若P PE aP PB a PB PaPB Pa nn nn111 111 10?????????????A k 的多项式 AEa AaA aA a A nn nn???????1 110)(??.)( 1P BP ???. 1PB P k??则P Ea BaB aB a P nn nn11 110)( ????????? P PB 1?P PB 1?P PB 1??P PB 1? k个,, 1 为对角矩阵使若可逆矩阵特别地??? AP P P, 1P PA kk???则.)()( 1P PA ?????有对于对角矩阵,?, 2 1??????????????????? kn k kk? 12 ( ) ( ) ( ) , ( ) n???????? ?? ?? ???? ?? ?? ?? ?? 利用上述结论可以很方便地计算矩阵 A 的多项式.)(A?.)(,)(OAfAf?则的特征多项式是矩阵设?定理证明. 与对角矩阵相似的情形只证明 A使则有可逆矩阵与对角矩阵相似若,,P A ),,,( 1 1?? n diag AP P ?????.0)(,??? iifA 的特征值为其中有由, 1P PA ???)(Af. 1OP PO ???P Pf 1)( ???Pf fP n 1 1)( )( ???????????????例1 若求x,y. ?????????xy A 31 22相似与?????????43 21B 解得: x = ?17, ?? y= ?12 解:由于A和B相似,所以 tr(A ) = tr(B ), |A|=|