相似矩阵及二次型.ppt

相似矩阵及二次型
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:,特征向量:
设 A 是 n 阶矩阵，如果数 和 n 维非零列向量 x 使
关系式 成立，那么，这样的数 称为方阵
A 的特征值，非零向量 x 称为 A 的对应于特征值
的特征向量。
,特征多项式,特征矩阵:
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齐次线性方程 有非零解
称 为方阵 A 的特征方程，显然特征方程
的n个根即为 A 的n个特征值(实根或复根)。
记
称为 A的 特征多项式。
称为 A的 特征矩阵。
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设 为 的一个特征值， 为其对应的特征向量，则
是 的解
求 的特征值
求 的根
求 的对应于特征值 的特征向量
求 的解
注：一个特征值对应的特征向量可能有无穷多个。
例1：求矩阵 特征值和特征向量。
:
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解：A 的特征多项式为
所以 A 的特征值为
当 时，对应的特征向量应满足
即
令 ，得到对应于 的全部特征向量为
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当 时，对应的特征向量应满足
即
令 ，得到对应于 的全部特征向量为
例2：求矩阵 的特征值和特征向量.
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解：A 的特征多项式为
所以 A 的特征值为
当 时，解方程
令 ，得到对应于 的全部特征向量为
由
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当 时，解方程
由
令 ，得到对应于 的全部特征向量为
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例3：求矩阵 特征值和特征向量。
所以 A 的特征值为
当 时，解方程
解：A 的特征多项式为
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即
令 ，得到对应于 的全部特征向量为
当 时，解方程
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