证明等边三角形的方法.doc

证明等边三角形的方法.doc证明等边三角形的方法
证明一个三角形是等边三角形主要有以下几种方法 :三边都相等的三角形是等边三
角形 ;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形 ;(3)有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。
下面通过具体的例题来说明这三种判定方法的应用 .
1 如图 1，已知等腰△ ABC ，BA=BC ，BD ⊥AC ，延长 BC 至 E，CE=CD，BD=CE.
求证：△ ABC 是等边三角形 .
分析：根据已知△ ABC 是等腰三角形，要证明其为等边
三角形，根据有一个角为 60°的等腰三角形为等边三角形，所
以只要证明其中的一个内角为 30°即可 .
证明：∵ CE=CE，∴∠ CDE=∠CED，
∵BD=ED ，∴∠ DBE=∠ DEB，
∵∠ DCB= ∠CDE+∠ CED=2∠E=2∠DBC ，

图
1
BD⊥AC ，∴∠ DCB+ ∠ DCB=90° ，∴ 3∠ DBC=90° ，∠ DBC=30° ， ∴∠ DCB=60° ，
∴△ ABC 为等边三角形 .
2 如图 2，△ ABC 是等边三角形， DE//BC ，分别交 AB 、 AC 于点 D，E. 求证：△ ADE 是等边三角形 .
分析：根据△ ABC 是等边三角形可得∠ A= ∠ B=∠ C=60°，根据 DE//BC 可得
∠ADE= ∠ B，∠AED= ∠ C，这样可通三个角都相等的三角形是等边三
角形来证明 .
证明：∵△ ABC 是等边三角形，
∴∠ A= ∠B=∠C=60°，
∵DE//BC ，
∴∠ ADE= ∠B，∠AED= ∠C， 图
2
∴∠ A= ∠ADE= ∠AED=60° ，
∴△ ADE 是等边三角形 .
例 3 如图 3，△ABC 是等边三角形， 过它的三个顶点分别作对边的平行线， 得
到一个新的三角形△ DEF，△ DEF 是等边三角形吗？你还能找到其他的等边三角形吗？请证明你的结论 .
分析：要判断△ DEF 是不是等边三角形，根据已知条件，只要判断
个角是否都相等 . 由△ ABC 是等边三角形， DF//AB 可以得到
∠BAC= ∠ ACF=60°，∠ ABC= ∠BCD=60° ，同