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重积分应用.docx重积分应用
重积分应用
重积分应用
对重积分应用的一些想法
王烁正阳， PB07210138
在第二学期微积分的学习中，一个很重要的变化就是“多元化” ，不论是函数的微分，
积分以及场论以致后边的级数，无不表现了多元这一特色，正所谓从 1 到 2 是质变，从 2
到 3 不过量变。 而在学习的这些相关多变量的知识之中， 重积分， 特别是它的应用给我留下
了很深刻的印象。 本文将要点联合一些实例， 对重积分应用中曲面的面积做一些增补， 侧重
总结一下重积分在物理学中的应用， 最后简单引申一点重积分在生活实质中的应用。 目的在
于帮助读者特别是各位同学， 加深对重积分的认识， 回首一下所学过的知识， 并能在这之中获得一些启迪。
在我们的学习中，重积分的一个很重要的应用就是曲面面积。在上学期的学习中，我
们已经知道了一般积分代表的是平面面积， 因此我们不难提出这样的问题： 非平面的面积如
何计算？也就令人们想要把定积分的元素法推行到二重积分的应用中， 并用此方法来解决曲
面面积的问题， 既若要计算的某个量 U 对于闭地区 D 拥有可加性 (即当闭地区 D 分红很多小
闭地区时， 所求量 U 相应地分红很多部重量， 且 U 等于部重量之和 )，而且在闭地区 D 内任
取一个直径很小的闭地区 da 时，相应地部重量可近似地表示为 f(x,y)da 的形式 ,此中 (x,y) 在
da,内这个 f(x,y)da 称为所求量 U 的元素， 记为 du.，进而有了这以后用此来表示曲面面积元。
对于多重积分表示曲面面积的推导，书上已经写的很详尽，这里再供给另一种想法
设曲面 S 的方程为 z f(x y) f( x y)在地区 D 上拥有连续偏导数
设 dA 为曲面上点 M 处的面积元素 dA 在 xOy 平面上的投影为小闭地区 d
点 M 在 xOy 平面上的投影为点 P(x y) 因为点 M 处的法向量为 n ( fx fy 1)
因此 设曲面 S 的方程为 z f(x y) f(x y)在地区 D 上拥有连续偏导数 设 dA 为曲面上点 M 处的面积元素 dA 在 xOy 平面上的投影为小闭地区 d 点 M 在 xOy 平面上的投影为点 P(x y) 因为点 M 处的法向量为 n ( fx fy 1) 因此
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1
f 22(x,y)
f
2(2x,y)d
dA |n|d
fxx
(x, y)
yfy (x, y)d
提示：因为 M 处的切平面与
xOy 面的夹角为 (n ^k)
因此 dA cos(n ^k) d
又因为 n k |n|cos(n ^k) 1 cos(n ^k) |n| 1 因此 dA |n|d
相同，对于曲面面积的认识，我们也不该仅逗留在课本中那些抽象的图形上，