常用泰勒公式.docx

常用泰勒公式.docx简介
在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数 f的泰勒级数 是如下的幂级数
这里，
!表示
n
的阶乘而
f
(n)()表示函数
f
在点
a
处的
n
阶导数。如果泰勒级数对于区间
(
-
,+
)中的所
n
a
ar
ar
有
x
都收敛并且级数的和等于
f
()，那么我们就称函数
f
(
)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为
幂级数
x
x
的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于 f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的
幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。
如果a=0, 那么这个级数也可以被称为 麦克劳伦级数。
泰勒级数的重要性体现在以下三个方面： 首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行， 因此求和函数相对比较容易。
第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在 复平面上的一个开片上的 解析函数，并使得复分析这种手法可行。第
三，泰勒级数可以用来 近似计算函数的值。
对于一些无穷可微函数 f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于 f(x)。例如，分段函数f(x)=exp( -1/x2)
当x≠0且 f(0)=0 ，则当x=0 所有的导数都为零，所以这个 f(x)的泰勒级数为零，且其 收敛半径为无穷
大，虽然这个函数 f 仅在x=0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立， 因为当 z沿虚轴趋于零时 exp(-
1/z2)并不趋于零。
一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些 奇点。但是如果变量 x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展
开为一个级数。例如， f(x)=exp( -1/x2)就可以被展开为一个 洛朗级数。
Parker-Sockackitheorem 是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对Picarditerati
on一个推广。
[编辑]
泰勒级数列表