常用泰勒公式.docx

简介在数学上,一个定义在开区间(a-r,a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数这里，n!表示n的阶乘而f?(n)(a)表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r,a+r)中的所有x都收敛并且级数的简介在数学上,一个定义在开区间(a-r,a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数这里，n!表示n的阶乘而f?(n)(a)表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r,a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。
如果a=0,那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。
泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。
对于一些无穷可微函数f(x)虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分
段函数f(x)=exp(?1/x2)当x≠0且f(0)=0，则当x=0所有的导数都为
零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在
x=0处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时exp(?
1/z2)并不趋于零。
一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂
的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x)=exp(?1/x2)就可以被展开
为一个洛朗级数。
Parker-Sockackitheorem是最近发现的一种用泰勒级数来