平面几何在分析几何中应用.docx

平 面 几 何 在 解 析 几 何 中 的 应 用
南昌大学附中 陈一君
一、活用几何关系速解圆类问题
在解析几何中，，又是中心对称图形，其中蕴藏着诸多位置关系和数量关系
2
y0
y1y2
1
2
由
AF
２
AN
，得y1y2
4，
y0
2
14y0
6此时0
＝AM
2
3
3
233,CO
圆心C的坐标为C(2,
6)或C(2
,
6)
，从而得
CO
33
，即
圆C的
4
2
33
半径为r
2
【利用圆的几何性质解法】抓住圆的几何特征结合垂径定理，从圆幂定理为切入点有下列简洁解法：设圆C与x轴交于不同的两点O、G．由圆幂定理知：
1,0，
AF
２
AMAN
，即４＝|AM|·|AN|
·＝
·
＝
|AO||AG|
|AM||AN|．由条件F
|AO|·|AG|，由条件设C（y02，y0），则G（y02，0）,AG＝y02＋１＝４，
422
y02＝6，y0＝ 6，
∴C(3,6)
或C(3,
9
33
6)，r
6
2
2
4
2
【点评】（I）涉及抛物线与圆的位置关系问题，关键要抓住圆心在抛物线上、圆过原点这些几何特征，结合垂径定理和根与系数关系解决问题．（II）根据条件抓住几何特征通过圆幂定理解决，显然比标准答案所给的方法简单明了，关键就是充分利用了圆的几何性质化难为易、化繁为简，收到事半功倍的效果．
二、解析几何中巧用三角形相似简化计算
解析几何是建立在坐标系的基础上， 用坐标表示点，用方程表示曲线，用代
数方法解决几何问题的一门学科，它开创了数、，
师生往往偏重于相关量的数量关系的研究，摒弃了最基本，最直接的解题思路，不重视平面几何知识,但解析几何的“魂”还是“几何”特征.
在现代中学教学中，解解析几何时，可以灵活应用平面几何知识，找到简捷的解题途径，简化解析几何的解题过程，，能培养学生认真分析图形的几何性质，养成综合应用知识的习惯，提高解题技巧与能
，若能把握形的几何特征，注意挖掘隐蔽条件，灵活利用平面几何知识，对于拓广解题思路，减少运算量，将会起到非常重要的作用，今天我们带领
大家学面几何的三角形相似知识巧妙解决解析几何的问题 .
【例题】如图：椭圆x2
y2
1(ab0)的左右焦点为F1，F2，上顶点为A，离
a2
b2
心率e
1，点P为第一象限内椭圆上的一个点，且SVPFA
:SVPFF
2:1,则直线PF1
2
1
1
2
.
的斜率为
【常规解法一】P到直线AF1的距离和到x轴的距离的比为2:1，设出P点坐标，进而求KPF1.
y
y
M
A
A
P
P
F1OF2
x
F1O
F2Nx
设P(m,n)，由题意知直线AF1:bxcybc0，
P到直线AF1的距离d
bmcnbc
2n,
a
即bm
cn
bc
2an，（点P在直线AF1的右侧，可直接去掉绝对值符号）
整理得
n
c
b
3（体现了设而不求）
m
2ac
5
【常规解法二】A与F2到直线PF1的距离的比为2:1，用点到直线的距离公式直
接解出KPF1
y
A
2
N
P
M
1
x
F1O
F2
设直线PF1方程为kx
yck
0,由A(0,b)与F2(c,0)到直线PF1的距离的比为2:1
0b
ck
ck
0ck