求数列通项公式的11种方法.doc

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二、累乘法
：----------这是广义的等比数列
累乘法是最根本的二个方法之二。
2．假设，那么
两边分别相乘得，
例4数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，那么，故
所以数列的通项公式为
，且〔=1，2，3，…〕，那么它的通项公式是=________.
解：等式可化为：
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()(n+1),即
时，
==.
评注：此题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解〔一般情况时用求根公式〕得到与的更为明显的关系式，从而求出.
练习.,求数列{an}的通项公式.
答案：-1.
评注：此题解题的关键是把原来的递推关系式转化为
假设令,那么问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
三、待定系数法适用于
根本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
1．形如,其中)型
〔1〕假设c=1时，数列{}为等差数列;
〔2〕假设d=0时，数列{}为等比数列;
〔3〕假设时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
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待定系数法：设,
得,与题设比较系数得
,所以所以有：
因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，
所以即：.
规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式
逐项相减法〔阶差法〕：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.,再利用类型(1).
例6数列中，，求数列的通项公式。
解法一：
又是首项为2，公比为2的等比数列
，即
解法二：
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两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……
练习．数列中，求通项。
答案：
2．形如：(其中q是常数，且n0,1)
①假设p=1时，即：，累加即可.
②假设时，即：，
求通项方法有以下三种方向：
即：,令，那么,然后类型1，累加求通项.
。
即：,
令,，
：目的是把所求数列构造成等差数列
，求