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年第期
圃
一个组合最值问题的来源和推广
张矗
湖南师范大学数学与计算机科学学院,
中囤分类号: 文献标识码: 文章编号:———
问题设为正整数,为的次数学竞赛的模拟考试,且第一次考试每名
所有正因数所成的集合, ,且中任一学生的得分都是从到的整数,第二次考
,第
值. 三次考试每名学生的得分都是从到的整
,中国国家队培训题数,那么,其中必有两名学生、,使得对每
一次考试的得分都不低于的得分.
本题的答案为『旦,其中, 问题的解所求的最小值为
表示不超过实数的最大整数. 一【】【堡】.
问题可等价地描述为下列形式.
首先证明:当。一时,不保证存在

两名学生满足题目的要求.
成立时,: 厅的最小值:如果名学生都
记:口,,、、,≤口≤,
参加了三次数学竞赛的模拟考试,并且每一≤≤,≤≤,
次考试每人的得分都是从到的整数,那其中,口,,表示学生第一、二、三次考试
么,其中必有两名学生、,使得对每一次考的得分分别为、、,并记
试的得分都不低于的得分.
【【.
问题的答案为『旦,且则—无论是偶数还是
证明方法同问题. 奇数,都有【寺】【】:,且
因此,问题、可看成是由下列问题
演变而来的. ,—。一】,
问题名学生解三个问题,每个问
:其中必,—。—】.
有两名学生、,使得对每一个问题的得设部分学生三次考试的得分组成的集合
分都不低于的得分. 为下列个不相交的集合的并集:
第届备选题:,,,,,Ⅱ
显然,这几个问题还可以作如下推广. 。一,,,⋯,.
—, ≤≤￡一;
问题设、凡、是给定的正整数,且
≤≤≤.求下列结论恒成立时, 由, ≤≤—;
,,的最小值:若名学生都参加了三【—, —≤≤,
中等数学
\
有肼一∑
,,∈,≤≤—,≤≤,
其中, ⋯.于是,
∑一∑—
一一.
∑一∑故。名学生对应的点中至少有
一一一
∑—一∑一∑个点属于⋯.
由抽屉原理知,其中至少有

一÷【】【卜

】【】
一± ,一
一【】】,
一】一】
即恰为。一名不同学生的得分组成的集
/

名学生对应的点同属于, ,⋯, 中某个
,若两名学生、得分

分别为,,、,,,满足≤口,
至多只有,,⋯,这种不同的分数,
≤,≤.但由
故其中必有两名学生的第三次考试的得分相
知,,,:,矛盾如
同,并且由子集的构造知,这两名学生中
果。一,则取上述集合的一个元子
必有一名学生记为其第一、二次考