球的内切和外接问题.ppt

二、 球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 二、 球与多面体的接、切
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个 。
一、
球体的体积与表面积
①
②
多面体的外接球
多面体的内切球
第一页，共15页。
⑴正方体的内切球直径＝
⑵正方体的外接球直径＝
⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
若正方体的棱长为a，则
a
第二页，共15页。
图3
图4
图5
第三页，共15页。
长方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c
则对角线长为
√a2+b2+c2
第四页，共15页。
设为1
例1 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱， 丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A ) A. 1:2:3 B. C. D.
甲球为内切球直径=正方体棱长
图3
图4
图5
第五页，共15页。
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
中截面
正方形的对角线等于球的直径=
.
球内切于正方体的棱
第六页，共15页。
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
对角面
设为1
球的内接正方体的对角线等于球直径。
球外接于正方体
第七页，共15页。
有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.
第八页，共15页。
1
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。
过侧棱AB与球心O作截面( 如图 )
在正三棱锥中，BE 是正△BCD的高，
O1 是正△BCD的中心，且AE 为斜高
解法1：
O1
A
B
E
O
C
D
作 OF ⊥ AE 于 F
F
设内切球半径为 r，则 OA = 1 －r
∵ Rt △ AFO ∽ Rt △ AO1E
第九页，共15页。
O
A
B
C
D
设球的半径为 r，则 VA- BCD =
VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD
解法2：
例2、正三棱锥的高为 1，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。
注意：①割补法，②
第十页，共15页。
P
A
O1
D
E
O
例3 求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积
过侧棱 PA 和球心 O 作截面α
则α截球得大圆，截正四面体得△PAD，如图所示,
G
连 AO 延长交 PD 于 G
则 OG ⊥ PD，且 OO1 = OG
∵ Rt △ PGO ∽ Rt △ PO1D
解法1：
第十一页，共15页。
A
B
C
D
O
求正多面体外接球的半径
求正方体外接球的半径
解法2：
第十二页，共15页。
球的内切、外接问题
5、体积分割是求内切球半径的通用做法。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。
4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。
第十