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几类与矩阵的秩有关的问题
Several types of issues related to the rank of matrix
专业: 数学与应用数学

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二○一
摘要
本文研究了与矩阵的秩有关的几类问题, 用定理和实例说明了矩阵的秩在向量的线性关系; 求解线性方程组; 判断空间中点线面的位置关系; 二次型; 线性变换等方面的应用.
关键词: 矩阵的秩; 向量; 线性方程组; 位置关系; 二次型; 线性变换
Abstract
This article study several types of issues related to the rank of matrix, theorem and the examples used the rank of the matrix in the linear relationship between vector, solving linear equations, determine spatial point line surface location relationship, quadratic, linear transformationand other applications.
Keywords: Rank of matrix; Vector; Linear equations; Set relations; Quadratic; Linear transformationand
目录
摘要 I
ABSTRACT II
0 引言 1
1矩阵的秩的定义及简单性质 1
2矩阵的秩与向量的线性关系 2
3矩阵的秩与线性方程组的解 4
4矩阵的秩与空间中的点线面位置关系 7
5矩阵的秩与二次型 10
6矩阵的秩与线性变换 13
参考文献 16
0 引言

矩阵理论是高等代数的主要内容之一, , 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型理; 线性变换等问题的密切的联系.
1 矩阵的秩的定义及简单的公式
矩阵的秩的定义
定义一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.
矩阵的秩的几个简单性质
() 秩() = 0, 当且仅当是零矩阵
() 秩() =, 当且仅当||≠0
() 设是×矩阵, 则秩()≤
() 秩秩+秩
()
() 设, 分别为与矩阵, 则秩min{秩,秩, ,,}.
2 矩阵的秩与向量的线性关系
高等代数中, 判断向量组的线性相关性时, 我们的依据是向量组中的其中一个向量是否可以由其余的向量线性表出来. 这种做法简单易懂, 但对一些较为复杂的这类问题时解法复杂, 上述方法有一定的局限性. 我们可以用矩阵的秩的相关知识来解决这类问题. 首先, 有以下的结论.
线性相关性的判断
设令=, 其中是矩阵, 为维列向量, 且= 则
线性相关=0有非零解秩.
线性无关=0只有零解秩=.
设为阶方阵, 为个线性无关的维向量, 证明: 秩=的充要条件是, , , 线性无关.
证明令=, 那么0.
先证明必要性设秩=, 所以0. 令
=0 ()
用左乘()式得=0. 所以.
即, , , 线性无关.
再证明充分性因为, , , 线性无关,
所以
=0,
从而0, 即秩=
极大线性无关组
(1) : , 若在中存在个线性无关的向量, 且都可以由线性表出, 则称是的一个极大线性无关组, 且称秩=.
(2) 两个等价的的向量具有相同的秩.
(3) 若=, 其中是矩阵, 若线性无关, 则秩=秩.
设有向量组
(Ⅰ) =, =, =,
(Ⅱ) =, =, =.
试问:当a为何值时, 向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价? 当a为何值时, 向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价?
解作初等行变换, 有
=

(1)当a时, 有行列式=0, 秩=3, 故线性方程组=均有惟一解. 所以可由向量组(Ⅰ)线性表示.
行列式=60, 秩=3, 故可由向量组(Ⅱ)(Ⅰ)与(Ⅱ)等价