MATLAB实验电力系统暂态稳定分析.doc

- 19- 实验三电力系统暂态稳定分析电力系统暂态稳定计算实际上就是求解发电机转子运动方程的初值问题, 从而得出δ-t 和ω-t 的关系曲线。每台发电机的转子运动方程是两个一阶非线性的常微分方程。因此, 首先介绍常微分方程的初值问题的数值解法。一、常微分方程的初值问题(一)问题及求解公式的构造方法我们讨论形如式( 3-1 )的一阶微分方程的初值问题???????? 00)( ),,()(yxy bxayxfxy ( 3-1 ) 设初值问题( 3-1 ) 的解为)(xy , 为了求其数值解而采取离散化方法, 在求解区间[ba, ] 上取一组节点 bxxxxxa nii??????????? 110 称 iiixxh???1(1,,1,0??ni?)为步长。在等步长的情况下,步长为 n abh ??用 iy 表示在节点 ix 处解的准确值)( ixy 的近似值。设法构造序列?? iy 所满足的一个方程(称为差分方程) ),,( 1hyxhyy iiii?????( 3-2 ) 作为求解公式,这是一个递推公式,从( 0x , 0y )出发,采用步进方式,自左相右逐步算出)(xy 在所有节点 ix 上的近似值 iy (ni,,2,1??)。在公式( 3-2 )中, 为求 1?iy 只用到前面一步的值 iy , 这种方法称为单步法。在公式( 3-2 ) 中的 1?iy 由 iy 明显表示出,称为显式公式。而形如( 3-3 )),,,( 11hyyxhyy iiiii??????( 3-3 ) 的公式称为隐式公式,因为其右端?中还包括 1?iy 。如果由公式求 1?iy 时,不止用到前一个节点的值,则称为多步法。由式( 3-1 )可得 dy =dxyxf),( ( 3-4 ) 两边在[ ix , 1?ix ] 上积分,得- 20- ????))(,()()( 1 xx iidxxyxfxyxy ( 3-5 ) 由此可以看出, 如果想构造求解公式, 就要对右端的积分项作某种数值处理。这种求解公式的构造方法叫做数值积分法。(二)一般的初值问题的解法 1. 欧拉法和改进欧拉法对于初值问题( 3-1 ), 采用数值积分法, 从而得到( 3-5 )。对于( 3-5 ) 右端的积分用矩形公式( 取左端点) ,则得到???))(,( ))(,( xx iixyxfhdxxyxf 进而得到( 3-1 )的求解公式( 3-2 )),( 1iiiiyxfhyy????(i =0 ,1,2,n -1)( 3-6 ) 此公式称为欧拉( Euler )格式。如果对式( 3-5 )右端的积分用梯形公式))) (,( ))(,((2 ))(,( 11?????? ii xx iixyxfxyxf hdxxyxf 则可以得到初值问题( 3-1 )的梯形求解公式如式( 3-7 )??),(),(2 11 1??????? iiiiiiyxfyxf hyy (i =0 ,1,2,n -1)( 3-7 ) 式( 3-7 )是个隐式公式。可以采取先用欧拉格式求一个)( 1?ixy 的初步近似值,记作 1?iy , 称之为预报值,然后用预报值 1?iy 替代式( 3-7 )右端的 1?iy ,再计算得到 1?iy ,称之为校正值,这样建立起来的预报-校正方法称为改进欧拉格式??????????????????),(),(2 ),( 11 1 1iiiiii iiiiyxfyxf hyy yxfhyy ( 3-8 ) 2. 龙格—库塔方法在单步法中, 应用最广泛的是龙格-库塔( Runge-kutta )法, 简称 R-K法。下面直接给出一种四阶的龙格-库塔法的计算公式( 3-9 ) - 21- ???????????????????????????????),( )2 1,2 ( )2 1,2 ( ),( )22(6 1 34 2 3 1 2 1 43211KyhxfhK Ky hxfhK Ky hxfhK yxfhK KKKKyy ii ii ii ii ii( 3-9 ) 它也称为标准(古典)龙格-库塔法。例 3-1 研究下列微分方程的初值问题??????????0)0( 21 1 22y yx y 解: 这是一个特殊的微分方程,其解的解析式可以给出,为 21x xy??应用龙格-库塔法,取h = , 根据式( 3-9 ) 编写一段程序, 由零开始自左相右逐步算出)(xy 在所有节点 ix 上的近似值 iy 。计算结果见表 3-1 。计算结果表明, 四阶龙格-库塔方法的精度是较高的。表 3-1 nx ny nnyxy?)( -5 -6 -7