基于MATLAB的单摆运动概要.doc

仅供学习参考
Matlab仿真技术作品报告
题目: MATLAB在单摆实验中的应用
系 〔院〕：
专 业：
班 级： 理实验教学改革提供一种新思路。
具体地，本文将描述一种新颖的单摆实验方法, 其主要的意义在于给学生以综合性实验技能训练。一个综合性实验, 它必须涉及多方面的知识和实验技能。本文描述的单摆实验方法即具备这样的特征。它的实验原理虽然简单, 但所涉及到的知识点极为丰富: 力学振动, 计算机编程等。学生通过这样的实验不仅可以得到综合性的实验技能训练, 而且可以在如何将现代技术改造传统实验、理论联系实际等方面得到很多启示。另外，本文引入计算机技术分析法, 对单摆实验进行了改造, 既实现了根底物理实验的现代化, 又为MATLAB课程实验提供了很好的应用落足点, 可以使学生得到多方面的实验技能训练。
二、方法概述

单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个根底问题。单摆在摆角比拟小时
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,其运动规律近似为准简谐振动。但是当摆角比拟大时, 即单摆在大摆角情况下运动时,这种近似已不再成立,其运动方程满足非线性微分方程。因此,对摆角大小的限制成为该实验中必须满足的条件。不同的实验条件下,最大摆角的取值不同,其中包括3°, 5°,10°,°,15°甚至20°等。这就为在实验过程中对摆角的统一取值造成困难,给实验带来较大的误差。同时,学生对单摆在大摆角情况下运动时其运动周期及运动规律的理解也存在困难。利用先进的计算机仿真技术模拟单摆运动、分析单摆运动规律为学生理解、掌握单摆运动规律具有积极的意义。
就单摆问题而言，小球在来回摆动的过程中不仅受到外界阻力等环境影响，而且其摆动过程中的角度也是很难确定的〔单摆在小于等于五度时才能验证其周期〕，这就为实际物理实验的展开制造了巨大的困难。本文将借助于MATLAB 这个强大的数学软件, 计算任意摆角下单摆运动周期的精确解,以消除摆角问题带来的误差；同时利用该软件, 仿真出大摆角时单摆的运动情况,为单摆测重力加速度实验中大摆角问题的讲解提供较好的手段。通过本问题的模拟、仿真、分析为大学物理实验其它问题的求解提供借鉴。


单摆是一种物理模型。设质量为m、摆长为l的单摆在重力场中作无阻尼振动,由牛顿第二定律得,单摆的运动方程为：
d2θdt+glsinθ=0 (1)
当摆角θ较小时, sinθ与 θ无限接近，方程( 1) 化简为：
d2θdt+glθ = 0 (2)
这是一个简单的谐振动方程,其解析解为：
􀀁θ= A cos(cosω0t + 􀀁ψ0 ) (3)
其中固定角频率 ω0=gl ；其周期为：
T0=2πgl (4)
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当摆角较大时, 这种近似sinθ=θ不再成立。公式( 1) 是一个非线性微分方程, 其解析解很难求出。但是通过积分的方法,作变量代换,就可得到大摆角运动时单摆的周期的积分形式:
T=2T0π02πdϕ1-sin2θ02sinϕ2 (5) 其中θ0为单摆的最大摆角。此公式适用于任意摆角下单摆运动周期的计算。

在力学的实验中，我们讨论单摆只讨论它的小角度摆动,单摆在摆角很小〔小于5º〕的情况下，可以看作间谐振动。
①研究摆球沿圆弧的运动情况时，要以不考虑与摆球运动方向垂直的力，而只考虑沿摆球运动方向的力，如图1所示。
图1 单摆运动中力的分析
②因为Ｆ′垂直于ｖ，所以，＝Ｇsinθ＝mgsinθＧ2＝Gcosθ＝mgcosθ。
③说明：正是沿运动方向的合力Ｇ1＝mgsinθ提供了