复合函数的单调性例讲.doc

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复合函数的单调性 例 讲
山西忻州五寨一中 摄爱忠
高考主要考察：①求复合函数的单调区间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题．
①“中间变量〞是减函数，而u= x2+4x+4在x∈(-∞，-3)上是减函数，
在(-1，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，
函数y=(x2+4x+4) 在x∈(-∞，-3)上是增函数；在x∈(-1，+ ∞)上是减函数.
变式训练：
◇讨论函数的单调性。
解：=x2-4x+3，y=。
指数函数在u∈(-∞，+∞)上是减函数，
u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，
∴ 函数在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。
这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。
题型3：外函数有两种单调性内函数有一种单调性的复合型.
例题3：
◇函数y=2sin( -2x)的单调递增区间是( )
(A). (B). (C). (D).
解：令y=sinu，u= -2x，∵u= -2x是R上的减函数，而y=sinu在u ∈[2kπ+，2kπ+]
(k∈Z)上单调递减，
根据函数单调性的复合规律，令2kπ+≤ -2x≤2kπ+得:
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当k=0时，，应选(A) .
例题4：
◇讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性.
解：显然函数定义域为(0，+∞). 令 u=log2x，y=u2+u
∵ u=log2x在(0，+∞)上是增函数，
y=u2+u在(-∞，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数
【注意】:(-∞，]及[，+∞)是u的取值范围.
令，那么0＜x≤，
(u≥log2x≥x≥)
所以y=(log2x)2+log2x在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数。
用数轴标单调区间如下：
①求复合函数的定义域；②求内函数在定义域内的单调区间；③求外函数的单调
区间；④求外函数对内函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减〞写出复合函数的单调区间.
变式训练：
◇求函数的单调区间．
【解析】〔1〕此函数的定义域：；
〔2〕此函数是由函数复合所得；
〔3〕内层函数的单调区间：函数在单调递减；
〔4〕外层函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增；
〔5〕根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数在单调递增；在单调递减．
【评注】：给出复合函数的单调区间，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的范围
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，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的范围.
◇函数的单调递减区间是；单调递减区间是.
题型4：内外函数都有两种单调性的复合型.
例题5：
◇函数那么
〔A〕在区间上是减函数 〔B〕在区间上是减函数
〔C〕在区间上是增函数 〔D〕在区间上是增函数
【解析】设， ，
外函数：