证明圆的切线方法.doc

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证明圆的切线方法
我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，，证明圆的切线常用的方法有：
一、假如直线l过⊙O上某一点A，证明l
求证：DM与⊙O相切.
证明一：连结OD.
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵OB=OD，
∴∠1=∠B.
∴∠1=∠C.
∴OD∥AC.
D
∵DM⊥AC，
∴DM⊥OD.
∴DM与⊙O相切
证明二：连结OD，AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC.
又∵AB=AC,
C
∴∠1=∠2.
∵DM⊥AC，
∴∠2+∠4=900
∵OA=OD，
∴∠1=∠3.
∴∠3+∠4=900.
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即OD⊥DM.
∴DM是⊙O的切线
说明：，解题中注意充分利用与图上.
例4 如图，：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.
求证：DC是⊙O的切线
证明：连结OC、BC.
∵OA=OC，
∴∠A=∠1=∠300.
∴∠BOC=∠A+∠1=600.
又∵OC=OB，
∴△OBC是等边三角形.
D
∴OB=BC.
∵OB=BD，
∴OB=BC=BD.
∴OC⊥CD.
∴DC是⊙O的切线.
说明：此题是根据圆周角定理的推论3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较好.
例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.
求证：PC是⊙O的切线.
证明：连结OC
∵OA2=OD·OP，OA=OC，
∴OC2=OD·OP，
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又∵∠1=∠1，
∴△OCP∽△ODC.
∴∠OCP=∠ODC.
∵CD⊥AB，
∴∠OCP=900.
∴PC是⊙O的切线.
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.
求证：CE与△CFG的外接圆相切.
分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.
证明：取FG中点O，连结OC.
∵ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，△CFG是Rt△
∵O是FG的中点，
∴O是Rt△CFG的外心.
∵OC=OG，
∴∠3=∠G，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠4.
∵AD=CD，DE=DE，
∠ADE=∠CDE=450，
∴△ADE≌△CDE〔SAS〕
∴∠4=∠1，∠1=∠3.
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∵∠2+∠3=900,
∴∠1+∠2=900.
即CE⊥OC.
∴CE与△CFG的外接圆相切
二、假如直线l与⊙O没有的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径〞
例7 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.
求证：AC与⊙D相切.
证明一：连结DE，作DF⊥AC