一个数学问题的解法.docx

问题：一个正整数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这样的正整数。
解法一：除以3余2的正整数有:2，5，8，11，14,17,20,23，26,29，……
问题：一个正整数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这样的正整数。
解法一：除以3余2的正整数有:2，5，8，11，14,17,20,23，26,29，……
除以5余3的正整数有：3，8，13，18，23,28,33,38，……
除以7余2的正整数有：2,9,16,23，30,37，……
所以,符合条件的最小的正整数是23。……
又因为3，5,7的最小公倍数是105，
所以，符合条件的这样的正整数可以表示为23+105k（k=0,1，2,3,……)。
解法二:设这样的正整数为x,那么
X=3a+2(a为非负整数）， ①
X=5b+3(b为 非负整数)， ②
X=7c+2(c为非负整数）, ③
由①②得3a=5b+1， b= 3a-15 ,由①③得3a=7c，c= 3a7,（精品文档请下载）
所以a是7的整数倍且3a—1是5的整数倍,a的最小取值是7，
可得b=4,c=3,x的最小值是23，又因为3,5,7的最小公倍数是105,
所以x=23+105k（k=0，1,2，3,……)。
解法三：设这个数为x,那么x≡2(3）,x≡3(5)，x≡2（7),而3×5×7=105，
5×7=35，3×7=21，3×5=15，由1≡35M1≡ 2M1（3），可得M1 =2；
由1≡21M2≡M2(5），得M2=1；由1≡15M3≡M3(7)，得M3=1。
所以x≡2×35×2﹢3×21×1﹢2×15×1≡233≡23(105）
所以x=23﹢105k（k=0，1,2,3， ……).