高中数学圆的方程典型例题总结归纳.doc

高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程
例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点和圆的关系．
分析:欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点和圆的位置关系,只须看点和圆心的间隔 和圆的半径的大小关系也符合题意．
∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线，且和之间隔 为1的直线和圆的交点．设所求直线为，那么，
∴，即，或，也即
，或．
设圆的圆心到直线、的间隔 为、,那么
，．
∴和相切,和圆有一个公共点；和圆相交，和圆有两个公共点．即符合题意的点共3个．
说明：对于此题，假设不留心，那么易发生以下误解：
设圆心到直线的间隔 为，那么．
∴圆到间隔 为1的点有两个．
显然,上述误解中的是圆心到直线的间隔 ，，只能说明此直线和圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的间隔 为1．
到一条直线的间隔 等于定值的点，在和此直线间隔 为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线和圆的公共点．求直线和圆的公共点个数，一般根据圆和直线的位置关系来判断，即根据圆心和直线的间隔 和半径的大小比较来判断．
类型五：圆和圆的位置关系
例15:圆和圆的公切线共有 条.
解：∵圆的圆心为,半径，圆的圆心为，半径，∴。∵，∴。
类型六：圆中的对称问题
G
O
B
N
M
y
A
x
图3
C
A’
例17　自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线和圆相切
(1）求光线和反射光线所在的直线方程．
（2）光线自到切点所经过的路程．
分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点的对称点的坐标为，其次设过的圆的切线方程为
根据，即求出圆的切线的斜率为 或
进一步求出反射光线所在的直线的方程为
或
最后根据入射光和反射光关于轴对称,求出入射光所在直线方程为
或
光路的间隔 为，可由勾股定理求得．
说明：此题亦可把圆对称到轴下方，再求解．
类型七:圆中的最值问题
例19　(1)圆,为圆上的动点，求的最大、最小值．
(2)圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．
分析:（1）、（2）两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
解：（1）（法1）由圆的标准方程．
可设圆的参数方程为（是参数）．
那么
（其中）．
所以，．
(法2）圆上点到原点间隔 的最大值等于圆心到原点的间隔 加上半径1，圆上点到原点间隔 的最小值等于圆心到原点的间隔 减去半径1．
所以．
．
所以．．
(2） (法1）由得圆的参数方程:是参数．
那么．令,
得，
．
所以，．
即的最大值为，最小值为．
此时．
所以的最大值为,最小值为．
(法2）设，那么．由于是圆上点，当直线和圆有交点时,如以下图,
两条切线的斜率分别是最大、最小值．
由,得．
所以的最大值为，最小值为．
令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值．
由，得．
所以的最大值为，最小值为．
类型九:圆的综合应用
例25、 圆和直线相交于、两点,为原点,且,务实数的值．
分析:设、两点的坐标为、，那么由，可得，再利用一元二次方程根和系数的关系求解．或因为通过原点的直线的斜率为，由直线和圆的方程构造以为未知数的一元二次方程，由根和系数关系得出的值，从而使问题得以解决．
解法一：设点、的坐标为、．一方面，由，得
，即，也即：．　　　①
另一方面，、是方程组的实数解，即、是方程　　　　②
的两个根．
∴,．　③
又、在直线上，
∴．
将③代入，得．　　④
将③、④代入①,解得，代入方程②，检验成立，
∴．
解法二：由直线方程可得，代入圆的方程
，有
,
整理，得．
由于，故可得
．
∴，是上述方程两根．故．得
,解得．
经检验可知为所求．
说明：求解此题时，应防止去求、两点的坐标的详细数值．除此之外,还应对求出的值进展必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点、存在．
解法一显示了一种解这类题的通法,解法二的关键在于根据直线方程构造出一个关于的二次齐次方程，虽有规律可循,但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅,一气呵成之感．
例26、对于圆上任一点，不等式恒成立,务实数的取值范围．
分析一：为了使不等式恒成立，即使恒成立，只须使就行了．因此只要求出的最小值，的范围就可求得．
解法一：令,
由
得：
∵且，
∴．
即，∴，
∴，即
又恒成立即恒成立．
∴成立,
∴．
分析二：设圆上一点［因为这时点坐标满足方程］