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第四节函数的极限重要极限无穷大与无穷小
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一、函数极限的定义
本节仿照数列极限讨论给出函数极限，先给出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近某个确定常数，那么这一确定常数就推论

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定理1
极限的四则运算法则
三、极限的运算法则
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推论1
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2
推论3
数,则
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定理1给出了极限的四则运算法则，它可以推广到
或
以及（3）中的某些情形：
（1）当　　　　时，而　　　　时，
（2）当　　　　时，而　　　　时，
（3）当　　　　时，而　　　　时，
（4）当　　　　时，而　　　　时，
（5）当　　　　时，而　　　　时，
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.
,
0
)
(
0
则商的法则不能应用．可用推广的
若
=
x
Q
公式求．
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例1　求
解
当　　　时，分子、分母的极限都为零，此时
不能用极限的四则运算法则及推广公式。而可用约
去无穷小因子的方法将函数变形后求极限
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例2
求极限
解
当　　　　时，分子分母都趋于无穷大，
用无穷大因子　去除分子分母，然后再求极限．
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解：原式
例3 求
解: 原式
又例 : 求
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极限存在准则
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四、两个重要极限
(1)
注
此结论可推广到
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注意：
解
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例
2
求
x
x
x
3
sin
lim
0
®
解
x
x
x
3
sin
lim
0
®
解
例4
解
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解
当
¥
®
n
时
,
因此
例6
,
有
例5 求
解
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例7 求
解
于是
练习
解
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(2)
利用数列公式
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用变量代换可求出
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此结论可推广到
注
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注意：
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例
1
解
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例2
解
一般地
例3 求
解一
解二
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例
4
求
解
例5
解
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解
解
解
练习
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解.
解.
4.
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思考题
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思考题解答
左极限存在,
右极限存在,
不存在.
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思考题
求极限
思考题解答
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无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。
对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义
定义1:
在x的某一变化过程中,函数f(x)极限为零,称f(x)为该过程的无穷小量（简称无穷小）.
当
例如 :
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
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注意
，必须指明自变量的
变化过程；
,不能与很小的数混淆;
.
无穷小
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证
必要性
充分性
意义
将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
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无穷小的性质
（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
（1）有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.
（3）在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.
（4）常数与无穷小的乘积是无穷小.
例1
解
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二、无穷大量
记作
记作
注意
,不能与很大的数混淆;
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
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三、无穷小与无穷大的关系
意义 据此定理，关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.
若
为无穷大,
为无穷小 ;
若
为无穷小, 且
则
为无穷大.
则
定理3 在自变量的同一变化过程中,
0
C
型
再利用
无穷
小
与无穷
大
之间的关系,
可得:
解
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