《数学分析》课件 外 微 分.doc

外微分

以下仅在三维空间中讨论。
一、微分的外积运算
微分的外积定义:对三维空间中自变量的微分,,,其外积运算用表示,如与的外积记为,它们满足以下运算法则:
(1),(是实数);
(2)外积运算对加法有分配律,如;
(3)反交换律,即任何两个微分的外积交换次序后变号,如;
(4)任意一个微分与自身的外积等于0,如;
(5)结合律,;
,,在几何上可以理解为有向长度微元。
在几何上可以理解为有向面积微元,在几何上可以理解为有向体积微元。因此,它们与,的区别在于前者是有向度量,即值有正负之分,而后者是无向的,永远是正的。
把微分的外积运算与向量的外积运算相比较,上述运算法则(1)~(4)是完全类似的。而在几何上是以为边的平行四边形的面积,对应于
,,
二、外微分式及其外微分式的外积运算
设都是三维空间的函数,则分别称(1)~(4)式为零阶、一阶、二阶和三阶外微分式
(1)
(2)
(3)
(4)
例阶外微分式与阶外微分式的外积是阶外微分式,当时,外积为0。
证两个一阶外微分式的外积


一阶外微分式与二阶外微分式的外积





其余显然成立。
三、多变量积分中的积分微元代换公式
利用外积运算,可以推导多变量积分变量代换公式中,微元的代换公式。
(1)二重积分中极坐标变换下的面积微元
在极坐标变换,下,有公式

其中,面积微元有关系式
自然它不是通过的普通乘积得到的,但它可以用的外积运算得到:


故
(2)二重积分一般变量代换中的面积微元
在变换,下,有公式

其中,面积微元有关系式:

同样,它符合的外微分运算。事实上,
故
(3)三重积分变量代换中的体积微元
完全类似二重积分情形,(略)。
(4)第二型曲面积分计算公式
设曲面方程为,,
则有公式



其中符号视的方向而定。注意到这里都是有向的,而等式右边的
是无向的,利用二重积分变量代换中已证得的面积微元关系,有
,,
取绝对值后,立即得到上述公式。
(5)第一型曲面积分中的面积微元
设曲面的方程为,,则有

其中,,。
因为
,,
而分别是在三坐标面上的投影,则

特别,若曲面方程为,,则
故
四、各阶外微分式的外微分运算
在三维空间中,对于系数是可微函数的各阶外微分式(1)~(4),定义其外微分:


注1 对基本外微分式的外微分,规定

在这个规定下,外微分算子的作用类似与普通微分算子,即对每一项进行运算,在每一项中又分别对每个因子进行运算,其余因子不动。所不同的是外微分算子在运算后进行外积运算,而普通微分算子在运算后进行普通乘积。例如


注2 零阶外微分式的外微分就是普通的微分。
性质: 阶外微分式的外微分是阶外微分式,三阶外微分式的外微分等于0,且它们与场论中的三度(梯度,旋度,散度)有如下联系:
(1)
(2)

(3)
证(1)显然成立。
(2)


(3)
五、牛顿-莱布尼兹公式,斯托克斯公式,格林公式,高斯公式的统一描述
牛顿-莱布尼兹公式

其中是在上的一个原函数。
若记,则,则牛顿-莱布尼兹公式可写为