菲克定律应用.doc

1 扩散动力学方程——菲克定律 菲克第一定律 宏观表达式 1858 年, 菲克( Fick ) 参照了傅里叶( Fourier )于 1822 年建立的导热方程,建立定量公式。在t?时间内,沿x 方向通过 x 处截面所迁移的物质的量 m?与x 处的浓度梯度成正比: tAx Cm?????即)(x CD Adt dm ????根据上式引入扩散通量概念,则有: x CDJ????( 7-1 )图 7- 1 扩散过程中溶质原子的分布式( 7-1 ) 即菲克第一定律。式中 J 称为扩散通量,常用单位是 mol /() 2s cm ?; x C??浓度梯度; D 扩散系数, 它表示单位浓度梯度下的通量,单位为 2 cm /s 或sm/ 2; 负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反见图 7-2 。 . 2 微观表达式微观模型: 设任选的参考平面 1、平面 2 上扩散原子面密度分别为 n 1和n 2 ,若 n 1=n 2 ,则无净扩散流。假定原子在平衡位置的振动周期为τ, 则一个原子单位时间内离开相对平衡位置跃迁次数的平均值,即跃迁频率?为? 1??(7-2) 由于每个坐标轴有正、负两个方向, 所以向给定坐标轴正向跃迁的几率是?6 1 。设由平面l 向平面2 的跳动原子通量为 J 12 ,由平面 2 向平面 1 的跳动原图 7- 2 溶质原子流动的方向与浓度降低的方向相一致图 7-3 一维扩散的微观模型子通量为 J 21?? 1126 1nJ (7-3) ?? 2216 1nJ (7-4) 注意到正、反两个方向,则通过平面 1沿x 方向的扩散通量为?? 2121 12 16 1nnJJJ?????(7-5) 而浓度可表示为?? nnC????1 1 (7-6) 式(7-6) 中的 1 表示取代单位面积计算,?表示沿扩散方向的跳动距离(见图 7-3 ) ,则由式(7-5) 、式(7-6) 得?? dx dC Ddx CCJ???????????? 2122116 1)(6 16 1???(7-7) 式(7-7) 即菲克第一定律的微观表达式,其中 26 1???D (7-8) 式( 7-8 )反映了扩散系数与晶体结构微观参量之间的关系,是扩散系数的微观表达式。三维情况下,对于各向同性材料( D 相同) ,则 CDx Ckx Cjx CiDJJJJ zyx?????????????????)( ????( 7-9 ) 式中: x kx jx i??????????为梯度算符。对于各向异性材料,扩散系数 D 为二阶张量,这时, ????????????????????????????????????????????????x C x C x CDDD DDD DDDJ J J z y x33 32 31 23 22 21 13 12 11 ( 7-10 ) 对于菲克第一定律,有以下三点值得注意: (1)式( 7-1 ) 是唯象的关系式, 其中并不涉及扩散系统内部原子运动的微观过程。(2 )扩散系数反映了扩散系统的特性,并不仅仅取决于某一种组元的特性。(3)式( 7-1 ) 不仅适用于扩散系统的任何位置, 而且适用于扩散过程的任一时刻。其中,J 、D 、x C??可以是常量, 也可以是变量, 即式( 7-1 )既可适用于稳态扩散,也可适用于非稳态扩散。 菲克第二定律当扩散处于非稳态, 即各点的浓度随时间而改变时, 利用式( 7-1 ) 不容易求出 C( x,t)。但通常的扩散过程大都是非稳态扩散, 为便于求出C( x,t) ,菲克从物质的平衡关系着手,建立了第二个微分方程式。 一维扩散如图 7-4 所示, 在扩散方向上取体积元 xA?,J x和 xxJ ??分别表示流入体积元及流出体积元的扩散通量, 则在 t?时间内,体积元中扩散物质的积累量为 tAJAJm xxx??????)( 则有 x JJt xA m xxx????????当x?、t?> 0 时,有 x Jt C??????将式( 7-1 ) 代入上式得)(x CDxt C???????( 7-11 ) 如果扩散系数 D 与浓度无关,则式( 7-11 ) 可写成 2 2x CDt C?????( 7-12 ) 一般称式( 7-11 ) 、式( 7-12 )为菲克第二定律。 . 2 三维扩散(1 )直角坐标系中)()()(z CDzy CDyx CDxt C?????????????????( 7-13 ) 当扩散系数与浓度无关,即与空间位置无关时, )( 2 22 22 2z Cy Cx CDt C???????????图 7-4 扩散流通过微小体积的情况( 7-14 ) 或简记为: CDt C 2????( 7-15 ) 式中: 2 22 2