数列解题技巧归纳总结---好(5份).doc

数列解题技巧归纳总结---好(5份)
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例4、中，，对于n＞1（n∈N）有，求.
解法一： 由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an、等差型递推公式




［练习］


6、等比型递推公式






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［练习］


7、倒数法






2．数列求和问题的方法
（1）、应用公式法
等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。

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1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2
【例8】 求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。
解  本题实际是求各奇数的和，在数列的前n项中，共有1+2+…+n=个奇数，
∴最后一个奇数为：1+[n(n+1)-1]×2=n2+n-1
因此所求数列的前n项的和为
（2）、分解转化法
对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。
【例9】求和S=1·（n2-1）+ 2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）
解  S=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3）
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（3）、倒序相加法
适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。
例10、求和：
例10、解
∴ Sn=3n·2n-1
（4）、错位相减法
如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和．
例11、 求数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．
解  设Sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1．    ①
(2)x=0时，Sn=1．
(3)当x≠0且x≠1时，在式①两边同乘以x得 xSn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，②
①-②，得 (1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn．
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(5)裂项法：
把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。
常见裂项方法：
例12、求和
注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。
在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。
二、常用数学思想方法
1．函数思想
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运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。
【例13】  等差数列{an}的首项a1＞0，前n项的和为Sn，若Sl=Sk（l≠k）问n为何值时Sn最大？
此函数以n为自变量的二次函数。∵a1＞0  Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函数的图像开口向下
∵ f（l）=f（k）
2．方程思想
【例14】设等比数列{an}前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q。
分析  本题考查等比数列的基础知识及推理能力。
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解 ∵依题意可知q≠1。
∵如果q=1，则S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0与等比数列不符。
∵q≠1
整理得  q3（2q6-q3-1）=0  ∵q≠0
此题还可以作如下思考：
S6=S3+q3S3=（1+q3）S3。S9=S3+q3S6=S3（1+q3+q6），
∴由S3+S6=2S9可得2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=0
3．换元思想
【例15】  已知a，b，c是不为1的正数，x，y，z∈R+，且
求证：a，b，c顺次成等比数列。
证明  依题意令ax=by=cz=k
∴x=1ogak，y=logbk，z=logck
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∴b2=ac ∴a，b，c成等比数列（a，b，c均不为0）
数学5（必修）第二章：数列
[提高训练C组]
一、选择题
1．数列的通项公式，则该数列的前（ ）项之和等于。
A． B． C． D．
2．在等差数列中，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在等比数列中，