黎曼-勒贝格引理的推广
摘要:本文主要是通过对黎曼-勒贝格引理的思考,从而得出更一般化的结论: 若在绝对可积,满足:(1)是以为周期的函数;
(2)在一个周期内黎曼可积且,
则有
1、引言
黎曼-勒贝格引理如下:若在绝对可积,则
下面对该引理作一些直观上的分析思考.
此结论看起来似乎不容易想象其过程,实际上,认真观察一下,还是能发现其中的玄机的。首先,注意到函数sinx和cosx 都是周期为T = 2π的周期函数且
, 。
考察g(x)sin(px), 当t 的变化量为时, sin(pt)经过了一个周期. 而(), 且由g(t)在[a, b]绝对可积, 可以想象若不是瑕点, 有
当然,这不是严格的数学证明,但至此,大家已经能较好地想象
的积分过程了。
2、黎曼-勒贝格引理的推广
由上,我们可以大胆地猜想以下结论:
定理1 若g(t)在[a, b] 绝对可积,则对函数f(x), 只要满足
f(x)为周期函数(记周期为T)
(2) f(x)在一个周期内黎曼可积且积分为零,即,就有
为证明定理,对满足定理条件的函数,先给出几个引理。
引理1:在任意一个周期长度的区间的积分为0,即有
证明: 因为
令有
从而。
引理2:,对任意的和,有。
证明:不妨设。令有
。
记,其中为正整数,,则由引理1有
因为是周期函数且在一个周期内黎曼可积,则有界,即使得
,
故||=||,
令G=MT 引理2得证。
下面给出定理的证明:
因为是周期函数且在一个周期内黎曼可积,则有界,即使得
,。
:
记,则
其中为在的振幅,.由黎曼可积知,对任给的,
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