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冰山运输数学模型
摘 要
当今社会，水资源短缺已成为世界性问题，水资源紧张地区正不断扩大，除淡化海水
的方法外，专家提出从相距 9600 千米以外的南极托运冰山到波斯湾，将其化成冰水从而
取代淡化海水作为国民根据数据拟合公式可以得出三者的函数关
系式，然后联系拖船航行的天数 t ，就得到燃料消耗费用。
3、冰山运输的总费用。
冰山运输的总费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成，燃料消耗费用上面已经分析
解决，拖船的租金则由表 1 的数据可确定，进而得到冰山运输的总费用。
4、冰山到达目的地可获得的水体积。
最终获得的水体积是冰山到达目的地所需天数 T 与冰山融化规律得到。
5、每立方米水的费用。
上面得到的冰山运输费用的函数与得到的冰山到达目的地后可获得水的体积的函数
相除，即可得到每立方米水的费用。
模型假设与符号说明
模型假设：
假设一： 拖船航行过程中船速不变，航行不考虑天气等任何因素的影响，总航行距
离 9600km；
假设二： 冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同；
假设三： 冰山到达目的地后， 1 m3 的冰可以融化成 m3 的水。
假设四： 冰山运输距离南极 4000m之后忽略温度对冰山融化的影响。
符号说明：
符号 符号说明
拖船的日租金（小、中、大）

i 1,2,3
拖船的速度
拖船到达波斯湾所用的总时间
距离南极为 d 时所需的时间
冰山融化速率
拖船与南极的距离
南极到波斯湾的总距离
每千米燃料消耗费用
每天燃料消耗费用
燃料消耗的总费用
拖船到达波斯湾所用租金
冰山原来的半径
冰山融化后的半径
冰山开始的体积
变化后冰山体积
每立方水所需费用
拖船到达波斯湾时所需的总费用
模型建立
本文的目的是选择出拖船的最适船型与船速，使冰山到达目的地后，可以得到的
每立方米水所花的费用最低，通过问题分析可以分别从冰山的融化规律、燃料消耗费用、
冰山运输的总费用、冰山到达目的地可获得的水体积和每立方米水的费用建立数学模型。
冰山的融化规律
假设运输过程中距离南极的距离为 dkm ，拖船的船速为 v km h ，融化速率为 S ，由表
三可以得到如图 1。
图 1
通过图 1，很明显看出：当距离 0 d 4000km时，融化速率 S 不仅与船速 v 成线性
关系，而且也与距离 d 呈线性关系，也就是说，船速越快，距离越远，冰山接触的温度越
高，导致它融化越快；当 d 4000km时，距离对融化速率的影响忽略，没有影响，所以
这时融化速率 S 只与船速 v呈线性关系。那么通过数据拟合公式可设融化速率
S 的函数关
系式为：
k1d k2v
b
0 d
4000
S
（1）
k2v
b
d
4000
然后将表 2 相关数据代入可得到：
当拖船从南极出发行走 t 天时，与南极距离为
d 24vt
（2）
由（ 1）、（2）及 k1,k2 ,b的值得：
1
vt
0
t
500
S
125
3v

500
t
400
3v
v
接下来求变化后冰山体积
设第 t 天冰山半径为 Rt ，体积为 N ，则
Rt R0
t
Sdt
0
N 43 Rt3, N0 43 R03
其中 R0 ,V0 为从南极启运时冰山的开始半径和体积。
由（ 4）、（5）得冰山体积为：
N
4
(
3 3N0
t
Sdt
3
3
4
0
)
燃料消耗费用
由表 2 中的数据，通过 Matlab 拟合可得图形如图
2 所示：
图 2

（3）
（4）
（5）
（6）