高一上学期函数单调性的证明练习题.doc

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高一上学期"函数单调性的证明〔1〕﹣2=4，
∴f〔1〕=2．
应选：D．
2．函数y=f〔*〕在〔0，+∞〕上为增函数，且f〔*〕＜0〔*＞0〕．试判断F〔*〕=在〔0，+∞〕 上的单调性并给出证明过程．
【分析】首先，设*1，*2∈〔0，+∞〕，且*1＜*2，然后根据函数f〔*〕的单调性进展证明即可．
【解答】解：函数F〔*〕=为〔0，+∞〕上减函数，证明如下：
任设*1，*2∈〔0，+∞〕且*1＜*2，
∵y=f〔*〕在〔0，+∞〕上为增函数，
∴f〔*1〕＜f〔*2〕，f〔*1〕＜0，f〔*2〕＜0，
F〔*1〕﹣F〔*2〕=﹣=，
∵f〔*1〕＜f〔*2〕，
∴f〔*2〕﹣f〔*1〕＞0，
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∵f〔*1〕＜0，f〔*2〕＜0，
∴f〔*1〕•f〔*2〕＞0，
∴F〔*1〕﹣F〔*2〕＞0，
即F〔*1〕＞F〔*2〕，
则F〔*〕为〔0，+∞〕上的减函数．
3．函数y=f〔*〕在〔0，+∞〕上为减函数，且f〔*〕＜0〔*＞0〕，试判断f〔*〕=在〔0，+∞〕上的单调性，并给出证明过程．
【分析】首先，设*1，*2∈〔0，+∞〕，且*1＜*2，然后，比拟大小，从而得到结论．
【解答】解：函数为〔0，+∞〕上增函数，证明如下：
任设*1，*2∈〔0，+∞〕且*1＜*2，
∵y=f〔*〕在〔0，+∞〕上为减函数，
∴f〔*1〕＞f〔*2〕，f〔*1〕＜0，f〔*2〕＜0，
=，
∵f〔*1〕＞f〔*2〕，
∴f〔*2〕﹣f〔*1〕＜0，
∵f〔*1〕＜0，f〔*2〕＜0，
∴f〔*1〕•f〔*2〕＞0，
∴g〔*1〕﹣g〔*2〕＜0，
∴为〔0，+∞〕上的增函数．
4．函数f〔*〕对任意*，y∈R，总有f〔*〕+f〔y〕=f〔*+y〕，且当*＞0时，f〔*〕＜0，f〔1〕=﹣．
〔1〕求f〔0〕；
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〔2〕求证：f〔*〕在R上是减函数；
〔3〕求f〔*〕在[﹣3，3]上的最大值和最小值．
【分析】〔1〕令*=y=0⇒f〔0〕=0；
〔2〕令y=﹣*即可证得f〔﹣*〕=﹣f〔*〕，利用函数的单调性的定义与奇函数的性质，结合即可证得f〔*〕是R上的减函数；
〔3〕利用f〔*〕在R上是减函数可知f〔*〕在[﹣3，3]上也是减函数，易求f〔3〕=﹣2，从而可求得f〔*〕在[﹣3，3]上的最大值和最小值．
【解答】解：〔1〕令*=y=0，则f〔0〕=0；
〔2〕令y=﹣*，则f〔﹣*〕=﹣f〔*〕，
在R上任意取*1，*2，且*1＜*2，则△*=*2﹣*1＞0，△y=f〔*2〕﹣f〔*1〕=f〔*2〕+f〔﹣*1〕=f〔*2﹣*1〕
∵*2＞*1，
∴*2﹣*1＞0，
又∵*＞0时，f〔*〕＜0，
∴f〔*2﹣*1〕＜0，即f〔*2〕﹣f〔*1〕＜0，
由定义可知函数f〔*〕在R上为单调递减函数．
〔3〕∵f〔*〕在R上是减函数，
∴f〔*〕在[﹣3，3]上也是减函数．
又f〔3〕=f〔2〕+f〔1〕=f〔1〕+f〔1〕+f〔1〕=3×〔﹣〕=﹣2，
由f〔﹣*〕=﹣f〔*〕可得f〔﹣3〕=﹣f〔3〕=2，
故f〔*〕在[﹣3，3]上最大值为2，最小值为﹣2．
5．函数f〔*〕对任意a，b∈R，有f〔a+b〕=f〔a〕+f〔b〕﹣1，且当*＞0时，f〔*〕＞1．
〔Ⅰ〕求证：f〔*〕是R 上的增函数；
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〔Ⅱ〕假设f〔﹣4〕=5，解不等式f〔3m2﹣m﹣3〕＜2．
【分析】〔Ⅰ〕设实数*1＜*2，则*2﹣*1＞0，利用可得f〔*2﹣*1〕＞1．再利用可得f〔*2〕=f〔*2﹣*1+*1〕=f〔*2﹣*1〕+f〔*1〕﹣1＞1+f〔*1〕﹣1=f〔*1〕即可；
〔Ⅱ〕令a=b=﹣2，以及a=b