余弦定理教学设计.doc

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．2余弦定理教学设计
一、教学目标
认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推证余弦定理，并简单=BC·sin(π－C)，CD=BC· cos(π－C)．
　　所以AB2=AD2+BD2化为
　　c2=(AC+CD)2+BD2
　　=[b+acos(π－C)]2+[asin(π－C)]2
=b2+2abcos(π－C)+a2cos2(π－C)+a2sin2(π－C)
　　=b2+2abcos(π－C)+a2．
　　因为cos(π－C)=－cosC，所以也可以得到c2=b2+a2－2abcosC。
教师点拨：以上两种情况，我们可以考察向量在向量方向上的正射影的数量：当
∠C分别是锐角和钝角的时候，得到两个数量符号相反；当∠C是直角的时候，其向量在直角边上的正射影的数量为零。因此，无论是∠C是锐角、直角还是钝角，都有
,
在Rt△ADB中，运用勾股定理，得c2=a2+b2－2abcosC，我们轮换∠A，∠B，∠C的位置可以得到
a2=b2+c2－2bccosA．
b2=c2+a2－2accosB．
于是，我们得到三角形中边角关系的又一重要定理：（多媒体投影余弦定理的内容）
余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
c2=a2+b2－2abcosC
a2=b2+c2－2bccosA
b2=c2+a2－2accosB
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从以上的公式中解出,则可以得到余弦定理的另外一种形式：
从以上分析过程，我们对∠C不是直角的情况有了清楚认识。我们不仅要认识到，∠C为锐角和钝角时都有c2=a2+b2－2abcosC，还要体会出怎样把一个斜三角形转化成两个直角三角形的。这种由未知向已知转化的思想在数学中经常用到。
探究2、你还能用向量的方法证明余弦定理吗？参看教材例1左上方的思路提示。
教师点拨学生的思路，可以让学生分组讨论、探究，最后教师用多媒体展示证明的思路及过程。
图6
如图6，在△ABC中，设，
教师点评：对于探究1，我们分∠C是锐角和钝角的情况对余弦定理的形式给出了证明，过程比较复杂；对于探究2，我们应用向量的数量积可以很简单的证明余弦定理，这就可以看出向量作为一种工具在证明一些数学问题中的作用，在今后的学习中，我们应该加强对所学知识的应用。
探究3、余弦定理在解三角形中的应用
教师启发学生：根据余弦定理的两种形式，可以看出它能够解决解三角形的哪些类型？
（学生并不难发现，余弦定理可以用来解决两种解三角形的类型：⑴已知三角形的两边及其夹角，求第三边；⑵已知三角形的三边，求三个内角。）
下面，请同学们根据余弦定理的这两种应用，来解决以下三个例题。（用多媒体展示例题）
例1、在△ABC中，已知a=5,b=4,∠C=120O,求c.
例2、在△ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形三个内角的大小及其面积（）.
例3、△ABC的定点为A(6,5),B(-2,8),和C(4,1),求∠A().
双边活动：师生可以共同完成例题，进一步的加深学生对余弦定理的应用。
环节四 【练习与巩固】
1、在△ABC中，a=1,b=1,∠C=120O,则c=。
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2、在△ABC中，若三边a,b,c满足，则A=。
3、在△ABC中，已知 ,这个三角形是（填锐角、直角、钝角三角形）。
4、在△ABC中，BC=3,AC=2,AB上的中线长为2，求AB。
双边活动：学生限时训练，让学生回答结果，对于出错题目加以讲解，可以用多媒体展示第4题的解题过程。
环节五 【课堂反思总结】
通过以上的研究过程，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体会？（先由学生回答总结，教师适时的补充完善）
1、余弦定理的发现从直角入手，分别讨论了锐角和钝角的情况，体现了由特殊到一般的认识过程，运用了分类讨论的数学思想；
2、用向量证明了余弦定理，体现了数学知识的应用以及数形结合数学思想的应用；
3、余弦定理表述了三角形的边与对角的关系，勾股定理是它的一种特例。用这个定理可以解决已知三角形的两边及夹角求第三边和已知三角形的三边求内角的两类问题。
（从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最后得到了推导出正弦定理。我们研究问题的突出特点是从