概率论与数理统计公式集锦.docx

公式名称
德摩根公式

概率论与数理统计公式集锦
一、随机事件与概率
公式表达式
A B A B，A B A B
x, z x) dx f ( z y , y ) dy
四、随机变量的数字特征
1、数学期望
①定义：离散型 E ( X ) x k pk ，连续型 E ( X ) xf ( x ) dx
k 1
②性质： E(C) C, E[E(X )] E(X ) ， E(CX ) CE(X) ， E(X Y) E(X ) E(Y)
E (aX b) aE( X ) b ，当 X、Y 相互独立时： E( XY) E( X )E(Y)
2、方差
①定义： D(X ) E[( X E(X ))2] E(X 2) E2(X )
②性质： D (C) 0 ， D(aX b) a 2 D ( X ) ， D( X Y) D( X ) D(Y) 2Cov( X, Y)
当 X、Y相互独立时： D (X Y ) D( X) D(Y )
3、协方差与相关系数
①协方差： Cov (X ,Y ) E ( XY ) E ( X )E (Y ) ，当 X、Y 相互独立时： Cov( X ,Y ) 0
②相关系数：
XY

Cov( X ,Y )
D( X ) D(Y)

，当 X、Y 相互独立时： XY 0 (X,Y 不相关 )
③协方差和相关系数的性质： Cov( X , X ) D( X ) ， Cov( X ,Y) Cov(Y, X )
Cov( X1 X 2 , Y) Cov(X1, Y) Cov( X 2 ,Y) ， Cov(aX c,bY d ) abCov( X ,Y)
4、常见随机变量分布的数学期望和方差
数学期
分布 方差
望
0-1 分布 b(1, p) p p(1-p)
二项分布 b( n, p) np np(1-p)
泊松分布 P( )
均匀分布 U( a, b)
正态分布 N( , 2)
指数分布 e( )
五、大数定律与中心极限定理
1、切比雪夫不等式
若 E(X),D(X)
2 , 对于任意
0有 P{ X E(X)}
D(X )
2
2、大数定律： ①切比雪夫大数定律：若 X1 Xn 相互独立，
E ( X i )i , D ( X i ) i2 且 i2
C，则： 1
n
X i
P
1
n
E( X i ), (n
)
n
i 1
n i
1
②伯努利大数定律：设
nA 是 n 次独立试验中事件
A 发生的次数， p 是事件 A 在每次试验中
发生的概率，则
0 ，有： lim P nA
p
1
n
n
③辛钦大数定律：若 X1 ,L , X n 独立同分布，且 E (X i )
，则 1 n
X i
P
n i
1
n
3、中心极限定理
①列维—林德伯格中心极限定理：独立同分布的随机变量X i (i 1,2,L ) ，均值为
，方差为
2
n
X k n ) n~ N (0,1)
0
，当 n 充分大时有： Yn (
k
1
②棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：随机变量 X ~ B(n, p) ，则对任意 x 有：
n
X k b)(b n )
( a n )
③近似计算： P(a
k 1
n
n
概 ?率 ?论 ?与 ?数 ?理?统?计?公?式 ?整?理 1、总体和样本的分布函数
设总体 X