§?方法?一、基本QR?方法60年代出现的QR算法是??目前计算中?小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效?方法。实矩阵、?非奇异。理论依据:任?一?非奇异实矩阵都可分解成?一个正交矩阵Q和?一个上三?角矩阵R的乘积,?而且当R的对?角元符号取定时,分解是唯?一的。可证,在?一定条件下,基本QR?方法产?生的矩阵序列“基本”收敛于?一个上三?角阵(或分块上三?角阵)。即主对?角线(或主对?角线?子块)及其以下元素均收敛,主对?角线(或主对?角线?子块)以上元素可以不收敛。特别的,如果A是实对称阵,则“基本”收敛于对?角矩阵。因为上三?角阵的主对?角元(或分块上三?角阵中,主对?角线?子块的特征值)即为该矩阵的特征值,故当k充分?大时,的主对?角元(或主对?角线?子块的特征值)就可以作为A的特征值的近似:基本的QR?方法的主要运算是对矩阵QR分解,分解的?方法有多种。介绍?一种Schmit正交化?方法。基本QR?方法每次迭代都需作?一次QR分解与矩阵乘法,计算量?大,?而且收敛速度慢。因此实际使?用的QR?方法是先?用?一系列相似变换将A化成拟上三?角矩阵(称为上Hessenberg矩阵),然后对此矩阵?用基本QR?方法。因为拟上三?角矩阵具有较多零元素,故可减少运算量。化A为相似的拟上三?角阵的?方法有多种。?二、豪斯豪尔德(Householder)变换
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