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谈谈证明直线恒过点的几种方法
临川二中周志如
直线恒过点问题涉及解析几何的所有知识，综合性强，方法灵活，运算复杂，对能力要求高，在教学过程中总结了以下几种策略。
1、特殊引路和找定点
对于有些直线恒过定点的问题，可以先考虑动直线l的谈谈证明直线恒过点的几种方法
临川二中周志如
直线恒过点问题涉及解析几何的所有知识，综合性强，方法灵活，运算复杂，对能力要求高，在教学过程中总结了以下几种策略。
1、特殊引路和找定点
对于有些直线恒过定点的问题，可以先考虑动直线l的特殊情况，找出定点P的位置,
然后证明该点P在直线l上，反映从特殊到一般的数学方法。
2
X2
例1:已知椭圆一y21的右准线l,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于
2
A、B两
点，点C在右准线l上，且BC//X轴，求证AC经过定点。
证明：如图1,设l，X轴，垂足为E,易求得F(1,0),E(2,0)
当AB±X轴时，过A作AD±l,垂足为D点，则ABCD为矩形
由椭圆的对称性可知，直线AC与X轴相
、一，一3
父于EF的中点N(-,0)
2
以下证明N即为直线
AC所经过的定点
当AB不垂直X轴时,
yk(X1),(k0)
A(X1,y1),BM,y2)
为？2满足方程
则C(2,y2)且
设直线AB的方程
k2(X
1)21
即(1
_222
2k2)X24k2X
2(k2
1)0
X1
X2
4k2
12k2
X1
X2
2(k21)
2k2
又X12
2y22
得X1
X1
故直线
AN、
CN的斜率分别为:
k1
y1
3
x12
2k(为1)k
-k2
2x13
丫2
2§
2
2k(X2
1)
kk2k(Xi1)(X21)(283)
122x13
(x11)(x21)(2x(3)3(x1x2)2X1x24
1
1 2k2
_ 2 2
[2 k 4(k 1) 4(1
_ 2
2k )] 0
k1k2
综上所述,
直线AC经过定点
(-,0 )
2
2、逆用直线系方程
过直线11 : f1(x,y) 0与
直线12 ： f2(x, y) 0的交点的直线系
方程为
f1(x, y)
=0
f2(x, y)
( R),反之，若直线
l的方程可表示为 f1 (x, y) f2(x, y) =0 (
R),则
f1(x,y)0…工…一
必过由
确7E的7E点。
f2(x,y)0
例2：设点A和B为抛物线y2 4 px,( p
0)上原点以外的两个动点。已知
OAL OB,
求证：直线AB必过定点。
证明：设 A ( pt12,2 pt1),
B ( p4,2 pt2 )
(t1, t2
0)
. OA，OB
(如图2)
…kOA KOB
2澳 2 pt2
,2
pt1
,2
pt2
即 11t2
由于t1 t2
直 线
AB