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浅析柯西不等式的应用
广州市育才中学邓军民
柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内西不等式的正确应用,就显得尤为重要了.
容,是高中数学的一个重要知识点;,/—的最大
悠久、形式优美、结构巧妙,是研究最值问题的一个值为一
:学习柯西不等式,不应该解析:依题意知/一√· 一
纯粹为了应付高考,主要目的是为了提高学生本身且∈,,所以由柯西不等式得:
的数学探究能力、创新能力、实践能力等,以进一步
: 『· ≤
开阔学生的数学视野、培养学生的创新思维、激发学
,
生的学习兴趣、提高学生的数学素质.

柯西不等式:设。,,⋯,;,,⋯,为两当且仅当—/—即时取等
组实数,约定≠,,,⋯,,则
十⋯≤⋯号,所以一/—的最大值为.
:⋯÷
当且仅当: 一时取等号
: ⋯: 一
. 通过点/,,则
Ⅱ
. ≤. ≥
,直接套用柯西不等
. ≤
. ≥
式解题.
利用柯西不等式解决某些数学问题,快捷方便,
,世上万物,均是有差异的,数解析:将点的坐标代入直线÷ 得:
学题也一样,要准确识别这些差异,准确抓住问题的
一/
, · ·÷
个性化特征,通过形似问题研究,进行归纳、思辨,提
高学生的解决问题的能力,以激发学生的探究热情、≤。。
苦,≥.
,
必须先学好柯西不等式的基本应用,在有差异的数点评:此题是一道很漂亮的和解析几何知识相
关的选择题,
学题中,去发现他们的共性,找到解决问题的通法.
考查直线和圆的位置关系,但是很多考生一时很难
例函数/一一的最大值
发现点,就是单位圆上的一个动点,很
为——.
难想到利用该直线和圆的位置关系是相交或相切
解析:依题意知且∈,,所以由柯西
圆心到直线的距离小于或等于半径这个方法来
不等式得:

、≤
理,很完美地避开了解析几何知识,轻车熟路的几步
、,当且仅当代数推理,就使问题迎刃而解了.
/即
——
一—.
, 所以函数
很多高考数学问题的解决,如果仅从基础知识、
一一的最大值为. 基本公式的正面人手,就很难取得知识性的突破,而
点评:利用柯西不等式求最值,确实显得干净利如果对基础知识、基本公式稍作变形,就会大大降低
索,像这种直接套用柯西不等式即可解决的题目,难问题的难度,达到化难为易、化繁为简、化陌生为熟
度不大,在数学高考中很有可能出现,,学习柯西不等式,仅了解柯
‘
,
西不等式的基本公式还是不够的,学生必须掌握下,
面这个柯西不等式的变形公式,此公式也是权方和∈,且:,, 取
不等式的一种特殊情况,这样我们就可以在解题过值范围为—.
程中更快更准地解决问题. 解析:依题意知:一,一
柯西不等式变形公式:约定,,
。,由