积分求导顺序可换.ppt

积分求导顺序可换
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本节研究形如
的含参变量广义积分的连续性、可微性与可积
性。下面只对无穷限积分讨论，无界函数的情
况可类似处理。
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设 是定义在无界 收敛，则 关于
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从而
所以 关于
一致收敛。
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例 1 在 内一致收敛
解
因为
而积分 收敛，
所以 在 内一致收敛
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狄利克雷判别法;
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阿贝耳判别法:
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二、一致收敛积分的性质
1. 连续性定理
因为 在 内一致收敛，所以
证明
因此，当 时，
设 在 上连续，
关于 在 上一致收敛，则一元函数
在 上连续。
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又 在 上连续，所以
作为 的函数在 连续，于是
从而，当 时，有
定理证毕。
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2. 积分顺序交换定理
设 在 上连续， 关于
在 上一致收敛，则 在
可积，并且
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3. 积分号下求导的定理
设 在 上连续，
收敛， 关于 在 上一致收敛，则
在 可导，且
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证明
因为 在 连续，由连续性定理
在 连续，
沿区间 积分 ，由积分顺序交
换定理，得到
在上式两端对 求导，得
定理证毕。
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连续性
即:
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可微性
可微性定理表明在定理条件下,求导运算和积分运算

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可积性
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含参量反常积分 在 上一致收敛.
证明反常积分 在 上一致收敛.
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证明含参量反常积分
在 上一致收敛.
在 上一致收敛.
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证明含参量反常积分
在 上一致收敛 .
含参量反常积分
在 上一致收敛 .
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例4 证明
证 （1）用分段处理的方法.
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因为
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例4 计算积分
解