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对数单身狗、指数找朋友
对数单身狗、指数找朋友：
①在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样
再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导1，2) 单
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调递增 . 由于 g(0) = 1，所以 g(x) ≤ 1 当且仅当 g(2) = (7 - 4a)e-2 ≤ 1，即 a ≥ 7 - e .
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所以当 7 - e ≤ a < 1 时，g(x) ≤ 1.
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(iii) 若 2a + 1 ≥ 2，即 a ≥ 1 ，则 g(x) ≤ (1 x3 + x + 1)e-x.
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由于 0 ∈ [7 - e ,1 )，故由 (ii) 可得 (1 x3 + x + 1)e-x ≤ 1.
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故当 a ≥ 1 时，g(x) ≤ 1.
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综上，a 的取值范围是 [7 - e , + ∞).
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点评：
解决形如 f(x)ex + g(x) 常见结论 ex ≥ x + 1( 有时甚至 ex ≥ 1 x2 + x + 1)，从形的角度
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看，它揭示了曲线与其切线的位置关系，从数的角度看，它提供了一种将指数型结构转化为
多项式型结构的方法，从而顺利突破难点．
例题2. 若不等式 xlnx ≥ a(x - 1) 对所有 x ≥ 1 都成立，求实数 a 的取值范围．
a(x - 1)
【解析】原问题等价于 lnx -  ≥ 0 对所有 x ≥ 1 都成立，
x
a(x - 1) ' x - a
令 f x  = lnx - ，x ≥ 1，则 f x  = ．
x x2
'