浅谈柯西-施瓦茨不等式.docx

浅谈柯西
施瓦茨不等式
 
 
 
 
 
   
 
 
 
罗由琦
（湖南省浏阳市田家炳实验中学1219班）
摘 要：柯西—施瓦茨不等式在数学学习中具有重要意义，能够灵活处理数学中很多定形式进行巧妙组合。柯西—施瓦茨不等式能够构造两个数组，并利用该不等式的原理，得出一些结论；在最值和方程求解过程中，这个方法同样适用。
（二）柯西—施瓦茨不等式的转化
柯西—施瓦茨不等式能够推出很多著名不等式，例如Minkowski不等式、赫尔德不等式。在Minkowski不等式中，任意2n个实数，具体公式如下：
赫尔德不等式是扩充柯西—施瓦茨不等式中的幂指数而形成的。
在赫尔德不等式中，当p=2,q=2,这个公式就代表着柯西—施瓦茨不等式，若n等于任意值，那么就有无数个不等式。
三、柯西—施瓦茨不等式的应用
（一）不等式在微积分中的应用

假设f（x），g（x）在［a，b］上可积，公式为：
若f（x）=0，或者是f（x）与g（x）有正比，那么等号成立。
由定积分的性质在区间［a，b］上分出n等分，分点自行定义，在从极限的保号性，能够得出上述公式成立，如果x∈［a，b］，f（x）=0，则可证明该公式成立。

假设f（x），g（x）在［a，b］上可积，则能够证明公式（）：
通过（）能够得知，若该公式两边都大于零，那么右边大括号内的数值也不小于零，所以能够证明出（）：
若一组不全是为零的k1、k2，那么k1f（x）+k2g（x）=0等式成立，可以将不等式（）改写成下面的公式：
这种形式更为美观，并且方便推广，在应用中也更为便捷，假设f（x），g（x），h（x）在［a，b］上可积，那么可以组合成一个组合公式，具体如下：
（二）不等式在平面几何中的应用
三角形的三边各边分别为a，b，c对应的高为ha，hb，hc，三角形内部的切圆半径为r。假设9r为ha，hb，hc的总和，那么能够试着判断三角形的形状。解题步骤如下：
三角形的面积为S，那么2S=aha=bhb=chc，由此能够导出，2S=r（a+b+c），所以能够用下面公式进行表述：
所以能够得出a=b=c时，公式取等号，所以当9r=ha+hb+hc时，该三角形是等边三角形。
（三）柯西—施瓦茨不等式在各种应用中的关系
在数学学习中，有很多不等式，并在数学的不同领域中，具有不同的重要性。不等式的运用能够使解题更加灵活，用其不变的本质，展现了数学领域中的统一性和渗透性。例如柯西—施瓦茨不等式在微积分中的运用，在线性代数中的应用，当仅存在不全为零的常数k1、k2，能够使k1α+k2?茁=0，不等式成立。
虽然这些不等式拥有不同的形式，内容也有一定的差异，在应用中，要根据实际情况进行相应的选择，确保应用时能够保留不等式本质，在学习中，要对这些形式进行区分，线性代数和概率论的公式有一定的抽象性和一般性，这种方法同样体现了数学不等式相互渗透的关系，例如国外有学者曾经说过，数学属于一个有机整体，不等式之间的联系为数学提供了生命力。这个观点在数学学习与分析中具有重要意义，所以应掌握各等式之间的联系，提高学生的思维创造能力。
在柯西—施瓦茨不等式的学习应用中，习题训