矩阵证明题.docx

简单应用题能力：
.试证：设aB,AB均为n阶对称矩阵，则AB=BA
.试证：设A是n阶矩阵，若A3=0,则（IA）1IAA2.
.已知矩阵A1（BI）,且A2A,试证B是可逆矩阵，并求B1.
2
.设n阶矩阵A满足A2I,AAT
故A2
A的充要条件为
1；
(2)
A2A,若
A可逆,
A1(A2)A1A,

A满足A2
A2E
(1)矩阵
A可逆;
(2)
：(1)
A(A
E)2E,A1
矩阵A
1,、
(AE)
2
2E与AE不同时可逆。
(2)
IA2
A2e||A2e||AE|
0,|A2E|与|AE|至少有一个为零。

、2
E),证明A=A的充要条件是
2
B=E。
：(必要性)
21
AA,A—(BE),
2
1
2(BE)
4(B
E)2
2
B2BE八代0/口2_,化简即得：B=E。
(充分性)
B2
E,A
2(B
E)
A21(B
4
E)2
B2
2B
4
2B-2Ea
4
^随阵A*也可逆
且(A*)1(A1)*
：由A可逆可知：|A|0,|A1|
Q|A*||A|n10,即A1,A*也可逆。
**11*1*11
AAAA|A|E,A(A)(A)A|A|E
*-1-1*-1
(A)1A/|A|,(A1)|A1|EAA/1A|
所以(A*)1(A1)*——得8分

：因为
A1(AB)B1B1A1A1B1——得2分
而A1(AB(B1是三个可逆矩阵的乘积所以A1(AB)B1可逆即A1B1可逆
——得6分
(A1B1)1[A1(A§B1]1RAB)1A——得8分
,证明AE可逆，并求出AE的逆矩阵.
：由A22A4EO可得A2A3A3EE,——得2分
即(AE)(A3E)E——得6分
所以AE可逆，且(AE)1(A3E)——得8分
发展应用题能力：
.设A为mn矩阵，证明：存在ns非零矩阵B,使ABO的充分必要条件为秩
r(A)n。
「rAO
.试证明：rr(A)r(B)
OB
.设A为n阶满秩方阵(nR2),A*为A的伴随矩阵，求证(A)*=|An2A
.设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*证明
(1)若|A|0则|A*|0(2)|A*||An1
.设A为mn矩阵，B为n阶矩阵，且r(A)=n，试证：
(1)若AB=O贝UB=O(2)若人8=人贝1]B=E
.设A、B为mn矩阵，则r(A+B)r(A)+r(B)。
.如果A是n阶矩阵(n2),且r(A)n1,试证r(A)1
参考答案
.设A为mn矩阵，证明：存在ns非零矩阵B,使ABO的充分必要条件为秩
r(A)n。
.证：
充分性：r(A)n,Ax0存在一