差比数列求和公式.pdf

等差比数列是高中数学中常见的内容，其化简过程曾令我们感到……
等差比数列求和公式-Y，由我（Water）在读高中时所推导出，可以解决我们在用错位相减法求等差比数
列前 等差比数列是高中数学中常见的内容，其化简过程曾令我们感到……
等差比数列求和公式-Y，由我（Water）在读高中时所推导出，可以解决我们在用错位相减法求等差比数
列前 n 项和的计算化简的难题。该公式的优点就是不用再合并同类项，直接得到最终版（final）。
已知：
等差数列：𝑎1，d ，𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
𝑛−1
等比数列：𝑏1，q ，𝑏𝑛 = 𝑏1𝑞
等差比数列：𝑐𝑛=𝑎𝑛 · 𝑏𝑛
等差比数列求和公式 - Y：

𝑏𝑛𝑞[𝑎𝑛(𝑞 − 1) − 𝑑] 𝑏1𝑞(𝑑 − 𝑎1) + 𝑎1𝑏1
Sn = +
(1 − 𝑞)2 (1 − 𝑞)2等差比数列求和公式 - Y 证明
证明：
① Sn = 𝑎1 · 𝑏1 + 𝑎2 · 𝑏2 + 𝑎3 · 𝑏3 + 𝑎4 · 𝑏4 + ⋯ + 𝑎𝑛−1 · 𝑏𝑛−1 + 𝑎𝑛 · 𝑏𝑛
② q · Sn = 𝑎1 · 𝑏2 + 𝑎2 · 𝑏3 + 𝑎3 · 𝑏4 + 𝑎4 · 𝑏5 + ⋯ + 𝑎𝑛−2 · 𝑏𝑛−1 + 𝑎𝑛−1 · 𝑏𝑛 + 𝑎𝑛 · 𝑏𝑛+1
① — ② 得
(1 − q) · Sn = 𝑎1 · 𝑏1 + d(𝑏2 + 𝑏3 + 𝑏4 + ⋯ 𝑏𝑛−1 + 𝑏𝑛) − 𝑎𝑛𝑏𝑛+1
(1 − q) · Sn = 𝑎1 · 𝑏1 + dq(𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 + ⋯ 𝑏𝑛−2 + 𝑏𝑛−1) − 𝑎𝑛𝑏𝑛+1
1 − 𝑞𝑛−1
(1 − q) · Sn = 𝑎 · 𝑏 + dq (𝑏 ) − 𝑎 𝑏 𝑞
1 1 1 1 − 𝑞 𝑛 𝑛
𝑏1 − 𝑏𝑛 𝑎𝑛𝑏𝑛𝑞(1 − 𝑞)
(1 − q) · Sn = 𝑎 · 𝑏 + dq ( ) −