《高等代数》考试大纲一、考试的性质高等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一,也是大多数理工科专业学生的重要基础课程。为帮助考生明确考试范围和有关要求,特制订出本考试大纲。本考试大纲主要根据北京林业大学数学与应用数学本科《高等代数》教学大纲编制而成,适用于报考北京林业大学数学学科各专业(基础数学、概率论与数理统计、计算数学、应用数学)硕士学位研究生的考生。二、(1)多项式及其运算(2)整除性理论(3)最大公因式(4)因式分解定理(5)重因式(6)复系数与实系数多项式的因式分解(7)有理系数多项式要求:理解数域上一元多项式的概念、多项式整除的概念和性质、最大公因式的概念和性质。掌握多项式的加法和乘法,会作带余除法,会求最大公因式;了解多项式互素、不可约多项式、多项式的导数及重因式分解的概念。理解因式分解唯一性定理,会判别重因式;了解多项式函数和多项式根的概念,会求有理系数多项式的有理根。(1)n阶行列式的定义(2)行列式的性质(3)列式按行(列)展开公式(4)行列式的计算(5)矩阵的初等变换,阶梯形矩阵和行简化阶梯形矩阵(6)克莱姆法则要求:理解n阶行列式的概念与性质,掌握矩阵的初等变换;掌握行列式的计算,会运用行列式的性质,通过降阶法和消去法及其综合使用去计算行列式;熟悉克莱姆法则,会运用它解线性方程组。(1)线性方程组的初等变换(2)n维向量空间(3)线性相关性(4)向量组的极大线性无关组和秩,矩阵的秩(5)线性方程组的有解判别定理与解的结构要求:理解消元法和矩阵初等变换的关系,掌握用矩阵初等变换解线性方程组的方法;理解线性相关、线性无关、线性表出的概念及其与线性方程组的关系,会判别向量组是否线形相关;理解向量组的秩和极大线性无关的概念,并会计算;理解矩阵的秩的概念,熟悉用初等变换求矩阵的秩和等价标准形的方法;熟悉线性方程组有解判别定理及其应用。(1)矩阵的运算(2)矩阵的分块(3)矩阵的逆(4)正交矩阵(5)等价矩阵(6)初等矩阵与初等交换的关系要求:理解矩阵可逆与矩阵的概念,掌握矩阵可逆的判别,了解初等矩阵与初等变换的关系。知道对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵的概念;掌握矩阵的加法、乘法、数量乘法和转置运算。掌握用初等变换求逆矩阵的方法,会做矩阵的分块运算。(1)二次型及其矩阵表示(2)化二次型为标准形(3)复二次型和实二次型的规范形(4)正定二次型,其它有定二次型要求:理解二次型及其标准形、规范形的概念,二次型与对称矩阵的一一对应关系。了解合同的概念及其性质;掌握用初等变换化二次型为标准形的方法;了解正二次型的概念,会判别正定性,知道其它有定二次的概念。(1)集合、映射(2)线性空间的定义和简单性质(3)维数、基与坐标(4)基变换与坐标变换(5)线性子空间(6)线性空间的同构要求:理解集合、映射、单射、满射的概念和性质;理解线性空间的概念,理解空间中基与维数的概念,理解基组在线性空间理论中的重要作用。掌握基变换与坐标变换的公式及其应用;理解子空间的概念,熟悉子空间判别方法。了解子空间的交与和、子空间的直和的概念,熟悉子空间的和是直和的几个判别定理。熟悉维数公式;了解线性空间同构的概念,了解数域P上任一n维线性空间与nP同构的定理。知道同一数域上两个有限维线性空间
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