三大抽样分布.ppt

§ 三大抽样分布
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本次课教学目的：
掌握三大抽样分布的构造性定义并熟悉一些重要结论
重点难点:
三大抽样分布的构造及其抽样分布
一些重要结论
教学基本内容及其时间分配
三大抽样分布的构造性定义§ 三大抽样分布
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本次课教学目的：
掌握三大抽样分布的构造性定义并熟悉一些重要结论
重点难点:
三大抽样分布的构造及其抽样分布
一些重要结论
教学基本内容及其时间分配
三大抽样分布的构造性定义——————30分钟
定理及其三个推论以及证明——————70分钟
根据本节课的特点所采取的教学方法和手段:
启发式讲授，图文结合加深对三大分布的印象
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引 言
有许多统计推断是基于正态分布的假设的，以标准正态变量为基石而构造的三个著名统计量在实际中有广泛的应用，这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而且其抽样分布的密度函数有明显表达式，他们被称为统计中的“三大抽样分布”.
若设 是来自标准正态分布的两个相互独立的样本，.
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分布(卡方分布)
问题：如何确定 的分布？
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图像：
密度函数的图像是一个只取非负值的偏态分布
数字特征：
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当随机变量
～
时，对给定的
，称满足
的
是自由度为n的卡方分布的
分位数.
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F分布
其中m称为分子自由度，n称为分母自由度.
设
独立，则称
的分布是自由度为m与n的F分布,记为
问题：如何确定 的分布？
首先，我们导出
的密度函数
第二步，我们导出
的密度函数
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首先，我们导出
的密度函数
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Z的密度函数为
.
第二步，我们导出
的密度函数
这就是自由度为m与n的F分布的密度函数。
）
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有F分布的构造知，若F~F(m,n),则有1/F~ F(n,m),故对给定
，
.
若取m=10,n=5,
=,那么从附表5上查得
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t 分布

设随机变量
独立且
则称
的分布为自由度为n的t分布，记为
问题：如何确定 的分布？
由标准正态密度函数的对称性知，
从而t与-t有相同分布。
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所以在上式两边同时关于y求导得t分布的密度函数为：
这就是自由度为ｎ的ｔ分布的密度函数。
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ｔ分布的密度函数的图象是一个关于纵轴对称的分布
与标准正态分布的密度函数形状类似，只是峰比标准正态
分布低一些，尾部的概率比标准正态分布的大一些。
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●自由度为1的ｔ分布就是标准柯西分布，它的均值不存在；
●ｎ>1时,ｔ分布的数学期望存在且为0。
●ｎ<1时,ｔ分布的方差存在，且为ｎ/(ｎ-2)；
●当自由度较大 时，ｔ分布可以用Ｎ(0,1)分布近似
(见下页图)
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N(0，1)和t(4)的尾部概率比较
c=2
c=
c=3
c=
X~N(0,1)




X~t(4)




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当随机变量
时称满足
的
是自由度为ｎ的ｔ分布的1-ａ分位数。
由于ｔ分布的密度函数关于0对称，故其分位数间有如下关系
譬如
。
那么从附表4 上查到
可以从附表4中查到。譬如ｎ=10,ａ=,
分位数
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一些重要结论
的样本，其样本
设
是来自正态总体
均值和样本方差分别为
和
则有
（1）
与
（2）
（3）
相互独立；
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证明 记
，则有
取一个n维正交矩阵A，其第一行的每一个元素均为
,如
.
令Y=AX，则由多维正态分布的性质知Y仍服从n维正态分布，
其均值和方差分别为
由此，
且都服从正态
的各个分量相互独立，
分布，其方差均为
,而均值不完全相同，
.
这证明了结论（1）
这证明了结论（2）
这证明了结论（3）
.
，有
左端改写为
由于分子是标准正态变量，分母的根号里是自由度为