四点共圆基本性质及证明.docx

四点共圆基本性质及证明.docx四点共圆基天性质及证明
四点共圆基天性质及证明
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四点共圆基天性质及证明
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四点共圆
假如同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一性质及证明
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若点 C 在圆外，设 BC 交圆 O 于 C’，连结 DC’，依据圆内接四边形的性质得∠A+∠ DC’B=180 ° ，
∵∠ A+∠ C=180 ° ∴∠ DC ’ B= ∠C
这与三角形外角定理矛盾， 故 C 不行能在圆外。 近似地可证 C 不行能在圆内。
∴C在圆 O 上，也即 A， B， C， D 四点共圆。
证明方法
方法 1
从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，而后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，即可必定这四点共圆．
方法 2
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形， 且两三角形都在这底边的 同
侧，若能证明其顶角相等 ( 同弧所对的 圆周角 相等） ，进而即可必定这四点共圆。
几何描绘：四边形 ABCD 中， ∠BAC= ∠ BDC ，则 ABCD 四点共圆。
证明：过 ABC 作一个圆，显然 D 必定在圆上。若不在圆上，可设射线 BD 与
圆的交点为 D'，那么 ∠BD'C= ∠ BAC= ∠ BDC ，与外角定理矛盾。
方法 3
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四点共圆基天性质及证明
把被证共圆的四点连成 四边形 ，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可必定这四点共圆。
证法见上
方法 4
把被证共圆的四点两两连成订交的两条 线段 ，若能证明它们各自被交点分红
的两线段之积相等， 即可必定这四点共圆 （订交弦定理 的逆定理） ；或把被证共
圆的四点两两连结并延伸订交的两线段， 若能证明自交点至一线段两个端点所成

黄忠明
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的两线段之积等于自交点至另一线段两头点所成的两线段之积， 即可必定这四点
也共圆．（ 割线定理 的逆定理）
上述两个定理统称为圆幂定理的逆定理， 即 ABCD 四个点，分别连结AB 和 CD,
它们（或它们的延伸线）交点为 P，若 PA PB=PC PD，则ABCD 四点共圆。
证明：连结AC,BD ，∵PA PB=PC PD
∴PA/PC=PD/PB
∵∠APC= ∠BPD
∴△APC ∽△DPB
当 P 在 AB,CD 上时，由相像得 ∠ A=∠D，且 A 和 D 在 BC 同侧。依据方法
2 可
知 ABCD 四点共圆。
当 P 在 AB,CD 的延伸线上时，由相像得 ∠ PAC= ∠D，依据方法 3 可知 ABCD 四点共圆。
方法 5 证被证共圆的点到某必定点的距离都相等，进而确立它们共圆．即连
成的四边形三边中垂线有交点，可必定这四点共圆．
方法 6
四边形 ABCD 中，如有 AB CD+AD BC=AC BD，即两对边乘积之和等于对角线乘积，则ABCD 四点共圆。该方法能够由托勒密定理逆定理获得。
托勒密定理逆定理：关于随意一个凸四边形 ABCD ，总有
AB CD+ADBC ≥ AC BD, 等号建立的条件是 ABCD 四点共圆。
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