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小学奥数数论专题
名校真题 测试卷10 〔数论篇一〕
1、〔05年人大附中考题〕有_____个四位数满足以下条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 有数和为＿＿。
3：质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。
[讲解练方数，问a最小是＿＿。
4:平方和。
8〕十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。
公式需牢记
做题有信心！

9〕周期性数字：abab=ab×101
[讲解练习]：2022×20222022-2022×20222022=＿＿。
四、典型例题解析
1 数的整除
【例1】〔★★★〕将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数〔4×3×2×1=24〕。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。
【解】：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d
那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5;
从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2
从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4；
因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。
这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3
所以这24个四位数中最大的一个是7543。
【例2】〔★★★〕一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？
[思路]：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手
【解】：5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。
【例3】〔★★★〕由1，3，4，5，7，8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？
【解】：各位数字和为1+3+4+5+7+8=28
所以偶数位和奇数位上数字和均为14
为了使得该数最大，首位必须是8，第2位是7，14-8=6
那么第3位一定是5，第5位为1
该数最大为875413。
[拓展]：一个三位数，它由0，1，2，7，8组成，且它能被9整除，问满足条件的总共有几个？

【例4】〔★★〕一个学校参加兴趣活动的学生不到100人，其中男同学人数超过总数的4/7 ，女同学的人数超过总数的2/5 。问男女生各多少人？
【来源】：06年理工附入学测试题
【解】：男生超过总数的4/7就是说女生少个总数的3/7，这样女生的范围在2/5～3/7之间，同理可得男生在4/7～3/5之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在28/70～30/70之间，所以只能是29人，这样男生为41人。
2 质数与合数〔分解质因数〕

【例5】〔★★★〕2022×684×375×□最后4位都是0,请问□里最小是几?
【解】：先分析1×2×3×4××10的积的末尾共有多少个0。由于分解出2的个数比5多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个5这个质因数。而能分解出5的一定是5的倍数。注意：5的倍数能分解一个5，25的倍数分解出2个5，125的倍数能分解出3个5……最终转化成计数问题，如5的倍数有[10/5]=2个。
2022=5×401 684=2×2×171
375=3×5×5×5前三个数里有2个质因子2，4个质因子5，要使得乘积的最后4位都是0
应该有4个质因子2和4个质因子5，还差2个质因子。因此□里最小是4。
[拓展]：2022×684×375×□最后4位都是0，且是7的倍数，问□里最小是_____
【例6】〔★★★〕03 年101中学招生人数是一个平方数，04年由于信息发布及