高三数学平面向量一轮复习题.doc

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考纲导读
第七章 平面向量
1．理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念．
2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律．
3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律,理解两个向量共个单位向量、作为基底,对于一个向量,有且只有一对实数x、y,使得＝x＋y．我们把<x、y>叫做向量的直角坐标,记作．并且||＝．
2．向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系．
3．平面向量的坐标运算：
若＝<x1、y1>,＝<x2、y2>,λ∈R,则：
＋＝
－＝
λ＝
已知A<x1、y1>,B<x2、y2>,则＝．
4．两个向量＝<x1、y1>和＝<x2、y2>共线的充要条件是．
典型例题
〔2,3,B〔－1,5,且＝,求点C的坐标．
解＝＝<－1,>,＝＝<1, >,即C<1, >
,,则=.
解: 提示：
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＝<cos,sin>,＝<cos,sin>,|－|＝,求cos<α－β>的值．
解:|－|＝＝cos＝cos<α－β>＝
－2＝<－3,1>,2＋＝<－1,2>,求＋．
解 ＝<－1,1>,＝<1,0>,∴＋＝<0,1>
例3. 已知向量＝<1, 2>,＝<x, 1>,＝＋2,＝2－,且∥,求x．
解:＝<1＋2x,4>,＝<2－x,3>,∥3<1＋2x>＝4<2－x>x＝
＝<ksinθ, 1>,＝<2－cosθ, 1> <0 <θ<π>,∥,求证：k≥．
证明: k＝ ∴k－＝≥0 ∴k≥
A
M
B
C
D
P
例4. 在平行四边形ABCD中,A<1,1>,＝<6,0>,点M是线段AB的中点,线段CM与BD交于点P．
<1> 若＝<3,5>,求点C的坐标；
<2> 当||＝||时,求点P的轨迹．
解：<1>设点C的坐标为<x0,y0>,
得x0＝10 y0＝6 即点C<10,6>
<2> ∵ ∴点D的轨迹为<x－1>2＋<y－1>2＝36 <y≠1>
∵M为AB的中点 ∴P分的比为
设P<x,y>,由B<7,1> 则D<3x－14,3y－2>
∴点P的轨迹方程为
、y中,已知点A<0,1>和点B<－3,4>,若点C在∠AOB的平分线上,且||＝2,求的坐标．
解 已知A <0,1>,B <－3,4> 设C <0,5>,
D <－3,9>
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则四边形OBDC为菱形 ∴∠AOB的角平分线是菱形OBDC的对角线OD
∵
∴
小结归纳
1．认识向量的代数特性．向量的坐标表示,实现了"形"与"数"的互相转化．以向量为工具,几何问题可以代数化,代数问题可以几何化．
2．由于向量有几何法和坐标法两种表示方法,所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法,由于坐标运算方便,可操作性强,因此应优先选用向量的坐标运算．
第3课时 平面向量的数量积
基础过关
1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和,过O点作＝,＝,则∠AOB＝θ <0°≤θ≤180°> 叫做向量与的．当θ＝0°时,与；当θ＝180°时,与；如果与的夹角是90°,我们说与垂直,记作．
2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与,它们的夹角为θ,则数量叫做与的数量积〔或内积,记作·,即·＝．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝<x1, y1>,＝<x2, y2>,则·＝．
3．向量的数量积的几何意义：
||cosθ叫做向量在方向上的投影 <θ是向量与的夹角>．
·的几何意义是,数量·等于 ．
4．向量数量积的性质：设、都是非零向量,是单位向量,θ是与的夹角．
⑴ ·＝·＝
⑵ ⊥
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⑶ 当与同向时,·＝；当与反向时,·＝．
⑷ cosθ＝．
⑸ |·|≤
5．向量数量积的运算律：
⑴ ·＝；
⑵ <λ>·＝＝·<λ>
⑶ <＋>·＝
典型例题
例1. 已知||＝4,||＝5,且与的夹角为60°,求：<2＋3>·<3－2>．
解:<2＋3><3－2>＝－4
||＝3,||＝4,|＋|＝5,求|2－3|的值．
解:
例2. 已知向量＝<sin,1>,＝<1,cos>,－．
<1> 若a⊥b,求；
<2> 求|＋|的最大值．
解：<1>若,则
即 而,所以
<2>
当时,的最大值为
变式训练2：已知,,其中．
<1>求证：与互相垂直；
<2>若与的长度相等,求的值<为非零的常数>．
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