高考数学 秒杀必备 恒成立问题的一般解法.doc

高考数学恒成立问题的一般解法高考数学复习中的恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:①一次函数型;②二次函数型;③变量分离型;④根据函数的奇偶性、周期性等性质;⑤直接根据函数的图象。一、一次函数型:给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于ⅰ)?????0)(0mfa或ⅱ)?????0)(0nfa亦可合并定成?????0)(0)(nfmf同理,若在[m,n]内恒有f(x)<0,则有?????0)(0)(nfmf例1、对于满足|p|?2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。分析:在不等式中出现了两个字母:x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然可将p视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。略解:不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0,故有:??????)2(0)2(ff即??????????0103422xxx解得:????????1113xxxx或或∴x<-1或x>、二次函数型若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有??????00anmoxynmoxy若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例2、设f(x)=x2-2ax+2,当x?[-1,+?)时,都有f(x)?a恒成立,求a的取值范围。分析:题目中要证明f(x)?a恒成立,若把a移到等号的左边,则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+?)时恒大于0的问题。解:设F(x)=f(x)-a=x2-2ax+2-a.ⅰ)当?=4(a-1)(a+2)<0时,即-2<a<1时,对一切x?[-1,+?),F(x)?0恒成立;ⅱ)当?=4(a-1)(a+2)?0时由图可得以下充要条件:???????????????,1220)1(0af即????????????,1030)2)(1(aaaa得-3?a?-2;综合可得a的取值范围为[-3,1]。例3、关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解,求a的范围。分析:题目中出现了3x及9x,故可通过换元转化成二次函数型求解。解法1(利用韦达定理):设3x=t,则t>+(4+a)t+4=0有正根。????????????????040)4(02121xxaxx即????????4016)4(2aa?????????480aaa或解得a?-(利用根与系数的分布知识):即要求t2+(4+a)t=0有正根。设f(x)=t2+(4+a)t+.?=0,即(4+a)2-16=0,∴a=0或a=-=0时,f(x)=(t+2)2=0,得t=-2<0,不合题意;a=-8时,f(x)=(t-2)2=0,得t=2>0,符合题意。∴a=-.?>0,即a<-8或a>0时,∵f(0)=4