数值分析实验报告1——Hilbert矩阵的求解(共7页).docx

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数值分析课程实验报告
题目：病态线性方程1

-016
Jacobi迭代

收敛
169

-011
GS迭代

收敛
77

-010
SOR迭代

（）
收敛
26

-011
CG迭代
—
收敛
2
1
1
-015
从表2可看出，n=2时，四种迭代法都能够收敛，迭代次数最大为e+2量级（J法），最小仅要2次（CG法），并且五种解法都能给出非常精确的结果，最大误差为e-10量级（GS法）。
=5的计算结果
求解方法
迭代矩阵谱半径p；
是否收敛
迭代次数N
误差e
GAUSS消元
—
—
-012
Jacobi迭代

不收敛
—
—
GS迭代

收敛
-006
SOR迭代

（）
收敛
21500
-008
CG迭代
—
收敛
7
-011
从表3可以看出，n=5时，J法已经不收敛，其余解法依然收敛（但值得注意的是GS法以及SOR法的谱半径以及非常接近1，达到了收敛的边缘），最大迭代次数达到e+6量级（GS法），最小需要7次（CG法），计算精度依然较高，最大误差为e-6量级。SOR法比GS
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法节省了较多的迭代次数。
=10的计算结果
求解方法
迭代矩阵谱半径p；
是否收敛
迭代次数N
误差e
GAUSS消元
—
—
0.
Jacobi迭代

不收敛
—
—
GS迭代

收敛
0.
SOR迭代

（）
收敛
0.
CG迭代
—
收敛
8
0.
从表4可以看出，n=10时，各种解法的收敛性与n=5时相同（GS法与SOR法的谱半径进一步趋近1），最大迭代次数达e+8量级（SOR法），最小需要8次（CG法），计算精度已经较低，最大误差达到e-3量级。此时有一个异常现象：SOR法的迭代次数不但不比GS法少，反而超出好几倍。但根据计算出的两种算法下的迭代矩阵谱半径，，，在最优松弛因子之下的SOR法确实具有更小的迭代矩阵谱半径，因此应当更快收敛。经检查，计算程序的编制应该没有错误，但计算结果确实与理论不符，希望老师指点迷津！
=20的计算结果
求解方法
迭代矩阵谱半径p；
是否收敛
迭代次数N
误差e
GAUSS消元
—
—