数值分析实验报告1——Hilbert矩阵求解.docx

数值分析课程实验报告
题目:病态线性方程组的求解
理论分析表明,数值求解病态线性方程组很困难。考虑求解如下的线性方程组的求解Hx = b,期中H是Hilbert矩阵,,,i,j = 1,2,…,n
估计矩阵的2条件数和阶数的关系
对不同的n,取,分别用Gauss消去,Jacobi迭代,Gauss-seidel迭代,SOR迭代和共轭梯度法求解,比较结果。
结合计算结果,试讨论病态线性方程组的求解。
解答过程
-条件数和阶数的关系
矩阵的2-条件数定义为:,将Hilbert矩阵带入有:
调用自编的Hilbert_Cond函数对其进行计算,取阶数n = 50,可得从1阶到50阶的2-条件数,以五位有效数字输出,其中前10项见表1。
-条件数
阶数
1
2
3
4
5
2-条件数
1


+004
+005
阶数
6
7
8
9
10
2-条件数
+007
+008
+010
+011
+013
从表1可以看出,随着阶数每递增1,Hilbert矩阵的2-条件数都至少增加一个数量级,但难以观察出明显的相依规律。故考虑将这些数据点绘制在以n为横轴、Cond(H)2为纵轴的对数坐标系中(编程用Hilbert_Cond函数同时完成了这个功能),生成结果如图1。
-条件数分布
由图可见,当维数较小时,在y-对数坐标系中Cond(H)2与n有良好的线性关系;但n超过10后,线性趋势开始波动,n超过14后更是几乎一直趋于平稳。事实上,从n = 12开始,系统便已经开始提出警告:“Warning: Matrix is close to singular or badly may be urate.”。也就是说,当n较大时,H矩阵已经接近奇异,计算结果可能是不准确的。通过查阅相关资料,我找到了造成这种现象的原因:在matlab中,用inv函数求条件数过大的矩阵的逆矩阵将是不可靠的。而调用系统自带的专门对Hilbert矩阵求逆的invhilb(n)函数则不存在这个问题,生成结果如图2。
图2. 修正后的不同阶数下Hilbert矩阵的2-条件数分布
简便起见,取n不大于10的前十项进行线性拟合,结果如图3。
~10阶Hilbert矩阵2-条件数的线性拟合
由拟合结果知,Cond(H)2与n的关系为:
其线性相关系数r=,可见二者具有较好的线性关系。对上式稍作变形得:
这就是对Hilbert矩阵的-2条件数与其阶数n的关系估计。可见Hilbert矩阵的2-条件数会随其阶数n的增加呈指数增大趋势,因此当n较大时Hilbert矩阵将是严重病态的,甚至导致matlab中inv求逆运算失真。
,采用各种方法求解方程
调用自编的Calc主函数(其中包括的Hilbert函数以及b_函数可创建出对应阶数的H矩阵以及向量b,Gauss_Cal函数、Jacobi_Cal函数、Gauss_Seidel_Cal函数、SOR_Cal函数(该函数