微观经济学数学分析方法课件.ppt

关于微观经济学数学分析方法
现在学习的是第1页，共78页
凸集
定义
现在学习的是第2页，共78页
例子
1维空间：单个点
2维空间：
直线、射线、线段
圆、椭圆、矩形、梯形、
在曲面上，任何两点的连线均在对应的曲线的下方，则称为凹函数。
现在学习的是第21页，共78页
一阶导数的定义
当且仅当：
即：做任何一个切面，函数值均在切面或切面之下。
现在学习的是第22页，共78页
对于多变量函数
现在学习的是第23页，共78页
凹函数的二阶导数的判定方法
若函数存在二阶连续偏微分，则：
现在学习的是第24页，共78页
与上述判定方法等价的方法：引入海塞矩阵
多变量函数：
该函数的一阶全微分表示为：
现在学习的是第25页，共78页
二阶全微分表达式
现在学习的是第26页，共78页
简化表达
现在学习的是第27页，共78页
海塞矩阵（二阶导数矩阵）
现在学习的是第28页，共78页
二阶全微分的简洁表达（引入海塞矩阵）
现在学习的是第29页，共78页
二阶导数的判定方法
当且仅当海塞矩阵为负半定时，该函数为凹函数。
负半定：即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于等于零，二阶大于等于零……
当（非当且仅当）海塞矩阵为负定时，该函数为严格凹函数。
负定：即即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于零，二阶大于零……
现在学习的是第30页，共78页
顺序主子式值正负交替变化
现在学习的是第31页，共78页
二阶导数的判定方法
当且仅当海塞矩阵为正半定时，该函数为凸函数。
正半定：即顺序主子式值全部大于等于零
当（非当且仅当）海塞矩阵为正定时，该函数为严格凸函数。
正定：即即顺序主子式值全部大于零
现在学习的是第32页，共78页
练习
检验下列函数的凹凸性：
现在学习的是第33页，共78页
（使用顺序主子式方法检验）
现在学习的是第34页，共78页
拟凹函数（quasiconcave）
现在学习的是第35页，共78页
定义
现在学习的是第36页，共78页
定义
现在学习的是第37页，共78页
图示
N
函数图形上任意一段弧MN,使N点高于M点，如果除M和N点外，该弧段上的点均高于或等于M点，则该函数为拟凹函数。
A
B
现在学习的是第38页，共78页
思考：与凹函数的关系？
凹函数一定是拟凹函数，但拟凹函数不一定是凹函数。
拟凹性是比凹性要弱的条件。
现在学习的是第39页，共78页
典型图示
X
f(x)
现在学习的是第40页，共78页
上等值集判定方法
如果该函数的上等值集是凸集，则该函数为拟凹函数。
上等值集的定义：
现在学习的是第41页，共78页
例子：
现在学习的是第42页，共78页
现在学习的是第43页，共78页
一阶导数定义
现在学习的是第44页，共78页
拟凹函数的二阶必要条件
现在学习的是第45页，共78页
加边海塞矩阵
现在学习的是第46页，共78页
现在学习的是第47页，共78页
拟凹函数的充分条件
现在学习的是第48页，共78页
拟凸函数的充分条件
现在学习的是第49页，共78页
练习
现在学习的是第50页，共78页
无约束条件下的极值问题
现在学习的是第51页，共78页
最优化的一阶条件
现在学习的是第52页，共78页
满足一阶条件是极值的必要条件？充分条件？
现在学习的是第53页，共78页
双变量的情形
现在学习的是第54页，共78页
现在学习的是第55页，共78页
A
现在学习的是第56页，共78页
现在学习的是第57页，共78页
A
现在学习的是第58页，共78页
二阶条件
现在学习的是第59页，共78页
二阶必要条件
现在学习的是第60页，共78页
回忆：关于凹函数
现在学习的是第61页，共78页
等式约束条件下的最优化问题
现在学习的是第62页，共78页
自由极值、约束极值
在无约束的最优化问题中，决策变量之间是彼此独立的。
但是当存在约束条件时，决策变量之间就要受到相互影响。
现在学习的是第63页，共78页
x
y
z
自由极值
约束极值
现在学习的是第64页，共78页
多约束条件下：约束条件的数量应少于决策变量的数量
现在学习的是第65页，共78页
约束条件下求极值的方法
拉格朗日乘数法
目标函数：
约束条件：
构造一个新函数：
现