高三数学解题方法复习15.docx

高三数学解题方法复习15.docx分段函数面面观
一、 分段函数的定义
定义域分成若干区间，在各个区间内，函数的对应关系不同， 这样的函数称为分段函数.
注意：分段函数表示的是一个函数，不是几个函数的组合，只不 过它有多个对应关系.
二、 分段函数的定义域及值域
分段函数面面观
一、 分段函数的定义
定义域分成若干区间，在各个区间内，函数的对应关系不同， 这样的函数称为分段函数.
注意：分段函数表示的是一个函数，不是几个函数的组合，只不 过它有多个对应关系.
二、 分段函数的定义域及值域
依据函数定义域、值域的定义，分段函数的定义域应是所有自 变量取值区间的并集， （小）值就是函数值中最大（小）的那一个.
2x + 3 （工 W 0）,
例1 设函数y = < x2+2x + 3（0<x<1）,求它的定义域、值域及
—x — 5 （1 < x W 5）,
最值.
解：（-8,0] U （0,1] U （1,5] = （-8,5],
函数的定义域为（-oo,5].
又,当xWO时，y = 2x + 3,它在（-8,0]上是增函数，二yW3；
当 0<xWl 时，y=x2+2x + 3,它在（0,1]上是增函数，「. 3 < y M 6 ;
当 1<xW5 时，y = —x —5,它在（1,5]上是减函数，「. -10Wy<-6.
函数的值域为（-8,6],函数无最小值，最大值为6.
三、 分段函数的解析式
求分段函数的解析式要遵循“先分（求）后总（求）”的原则.
例2 已知f（x） = x2 ~2x+ 3 ,将f（x）在两wi + 1]上的最小值记 为g(m)，试求g(wi)的表达式.
分析：以函数/Xx)的对称轴x = l与区间［m, m + 1］的位置关系分 三种情况讨论，g(m)的取值因区间的不同而不同，因此，它应是关于 所的一个分段函数.
解：当对称轴在区间左侧，即m〉l时，函数f(x) = x2-2x + 3在 ［m, /“ +1 ］.为增函数,g(/n) = /(/n) = m2 -2m+ 3 ;
当对称轴在区间内时,即OWmW 1时，") = /■⑴=2;
当对称轴在区间的右侧时，即m<0,函数f(x) = x2-2x + 3在 ［m, wi + 1］上为减函数,g(m) = /(m +1) = m2 + 2 .
2 + 2 (m < 0),
综上所述，g(m) = < 2 (OWmWl),
7772 -2/77 + 3(/77 > 1).
四、分段函数的单调性和奇偶性