复合函数的单调性复合函数的概念及复合函数的单调性.doc

复合函数的单调性 复合函数的概念及复合函数的单调性
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复合函数的概念及复合函数的单调性
一、知识点内容和要复合函数的单调性 复合函数的概念及复合函数的单调性
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复合函数的概念及复合函数的单调性
一、知识点内容和要求:
理解复合函数的概念，会求复合函数的单调区间
二、教学过程设计
(一)复习函数的单调性
1
引例:函数y=f(x)在上单调递减，则函数(a,0，且a?1)增减性如何,
(二)新课
1、复合函数的概念
如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f(a)，a=g(x)，那么y关于x的函数y=f[g(x)]
叫做函数y=f(x)和a=g(x)的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。 例如:函数是由复合而成立。
函数是由复合而成立，a是中间变量。
2、复合函数单调性
由引例:对任意a，都有意义(a,0且a?1)且。
对任意，
2
当a,1时，单调递增，当0,a,1时，单调递减。
?当a,1时，
?y=f(u)是上的递减函数 ?
?
?是单调递减函数
类似地，
当0,a,1时，
是单调递增函数
一般地，
定理:设函数u=g(x)在区间M上有意义，函数y=f(u)在区间N上有意义，且当X?M时，u?N。
3
有以下四种情况:
(1)若u=g(x)在M上是增函数，y=f(u)在N上是增函数，则y=f[g(x)]在M上也是增函数;
(2)若u=g(x)在M上是增函数，y=f(u)在N上是减函数，则y=f[g(x)]在M上也是减函数;
(3)若u=g(x)在M上是减函数，y=f(u)在N上是增函数，则y=f[g(x)]在M上也是减函数;
(4)若u=g(x)在M上是减函数，y=f(u)在N上是减函数，则y=f[g(x)]在M上也是增函数。
即:同增异减。
注意:内层函数u=g(x)的值域是外层函数y=f(u)的定义域的子集。
?
例1、讨论函数的单调性
4
(1)(2)
解:?
? 又是减函数 ?函数的增区间是(-?，2]，减区间是[2，+?)。 ?x?(-1，3) 令 ?x?(-1，1]上，u是递增的，x?[1，3)上，u是递减的。 ?是增函数 ?函数在(-1，1]上单调递增，在(1，3)上单调递减。 注意:要求定义域
练习:求下列函数的单调区间。
1、(1)减区间，增区间;
(2)增区间(-?，-3)，减区间(1，+?);
(3)减区间，增区间;
(4)减区间，增函数。
5
2、已知求g(x)的单调区间。
提示:设，则g(x)=f(u)利用复合函数单调性解决:g(x)
的单调递增区间分别为(-?，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+?)。
例2、