不等式的证明方法三反证法.docx

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不等式的证明方法之三：反证法
课题：
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立证：(2
a)c,(2
b)a,(2
c)b,不可能同时大于
3、若x,y>0，且x+y>2，则
1
y和1
x中至少有一个小于2。
x
y

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.
b
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提示：反设1y≥2，1x≥2∵x,y>0，可得x+y≤2与x+y>2矛盾。
xy
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五、作业：
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课题：不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式
目的要求：
重点难点：
教学过程：
一、引入：
所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。
二、典型例题：
例1、若n是自然数，求证
1
1
1
1
2.
12
22
32
n2
证明：
1
1
1)
1
1
1,k
2,3,4,
,n.
k2
k(k
k
k
1
1
1
1
1
1
1
1
12
22
32
n2
11223
(n1)n
=1(11)(11)
(1
1)
1
12
23
n1
n
=2
1
2.
n
注意：实际上，我们在证明
1
1
1
1
2
的过程中，已经得到一个更强的
12
22
32
n2
结论1
1
1
1
1
2
，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。
12
22
32
n2
n
例2、求证：1
1
1
2
1
1
3
1
2
1
3.
1
1
2
3
n
证明：由
1
1
1
,（
k是大于2的自然数）
1
2
3
k
122
2
2k1
得1
1
1
1
1
1
3
1
2
1
n
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2n
3
3.
2
22
23
2n1
1
1
2n1
2
例3、若a,b,c,d
R+，求证：1
a
b
c
d
2
abdbcacdbdac
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证：记m=
a
b
c
d
abdbcacdbdac
∵a,b,c,d
R+
∴m
a
b
c
d
1