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2022年初二数学实数思维导图.docx


文档分类:中学教育 | 页数:约6页 举报非法文档有奖
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2022年初二数学实数思维导图
  汇总  实数的完备有序域  实数集合通常被描述为完备的有序域,这可以几种说明。
  首先,有序域可以是完备格。然而,很简单发觉没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大元素(对随意元素 , 将更大)。所以,这里的完备不是完备格的意思。
  另外,有序域满意戴德金完备性,这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明白这里的完备是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思特别接近采纳戴德金分割来构造实数的方法,即从(有理数)有序域动身,通过标准的方法建立戴德金完备性。
  这两个完备性的概念都忽视了域的结构。然而,有序群(域是种特别的群)可以定义一样空间,而一样空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。(这里采纳一样空间中的完备性概念,而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性,这是由于度量空间的定义依靠于实数的性质。)当然,并不是唯一的一样完备的有序域,但它是唯一的一样完备的阿基米德域。事实上,完备的阿基米德域比完备的有序域更常见。可以证明,随意一样完备的阿基米德域必定是戴德金完备的(当然反之亦然)。这个完备性的意思特别接近采纳柯西序列来构造实数的方法,即从(有理数)阿基米德域动身,通过标准的方法建立一样完备性。










  完备的阿基米德域最早是由希尔伯特提出来的,他还想表达一些不同于上述的意思。他认为,实数构成了最大的阿基米德域,即全部其他的阿基米德域都是 的子域。这样 是完备的是指,在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思特别接近用超实数来构造实数的方法,即从某个包含全部(超实数)有序域的纯类动身,从其子域中找出最大的阿基米德域。
  实数的基本定理  实数系的基本定理也称实数系的完备性定理、实数系的连续性定理,这些定理分别是确界存在定理、单调有界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、闭区间套定理和柯西收敛准则,共7个定理,它们彼此等价,以不同的形式刻画了实数的连续性,它们同时也是解决数学分析中一些理论问题的重要工具,在微积分学的各个定理中处于基础的地位。7个基本定理的相互等价不能说明它们都成立,只能说明它们同时成立或同时不成立,这就须要有更基本的定理来证明其中之一成立,从而说明它们同时都成立,引进方式主要是承认戴德金公理,然后证明这7个基本定理与之等价,以此为动身点起先建立微积分学的

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  • 时间2022-03-18