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极限计算方法总结
靳一东
〈〈高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是〈〈高等数学》的重要组成部分。
求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到
〈〈高等数学》后面内容的学习。下面先对极fi(x)
f(x)lim^^，即lim—(-)=lim。
^；x0gi(x)xTog(x)XTog^x)洛比达法则
定理5假设当自变量x趋近丁某一定值(或无穷大)时，函数f(x)和g(x)满足:
f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大；f(x)和g(x)都可导，且g(x)的导数不为0；f(x)…lim存在(或是无分大)；g(x)
则极限lim土(少也一定存在，且等于limf,(x)，即limf(&=limf,(x)。
g(x)g(x)g(x)g(x)
说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足，即验证所求极限“0是否为“0”型或“—”型；条件(2)一般都满足，而条件(3)则在求导完毕0
后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。

定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果x°是函数f(x)的定义去间内的一点，则有limf(x)=f(x0)。
x>x0极限存在准则
定理7(准则1)单调有界数列必有极限。
定理8(准则2)已知{xn},{yn},{Zn}为三个数列，且满足:
(i)y^x^Zn,(n=1,2,3，…)
limyn=a,
j二
limzn=a
n—二
贝U极限limXn一定存在，且极限值也是a，即nT二
、求极限方法举例
，再利用极限运算法则求极限
limxn=a。
n>：:
3x1-2
例1lim
x1x-1
(、.3x1)2-22解：原式=limlim
xF(x-1)(Mx12)x1(x-1)(、3x12)
注：本题也可以用洛比达法则。
3x-3
例2lim、n(..n2fn-1)n—二
解:
原式=limM(n—2顼n项
n一‘‘•：n2n-1
分子分母同除以
(-1)n3
例3
上下同除以3n
解：原式=
lim-
n
*1。
中1
(定理6)求极限12_x
例4limxe1
2
解：因为x°=2是函数f(x)=xex的一个连续点,1所以原式=22e2=4%'e。
-cosx
例5lim2一x用3x2
2sin2-=lim2x>0x2120
2x2sin一2解：原式=仰0；^yjx
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注：本题也可以用洛比达法则。
例6li
2州1—3sinx尸
1_6sinx解：原式=lim(1-Ssinx)*^十x)0
1_6sinx=lim[(1-3sin乂)与亦厂=e*
例7lim(土2)。
n—)n1
On_1-3n
解：原式=lim(1•^―)；n1
n，二n1
On1_-3n
IM""
_3
=e*o

例8xm0x
—x
解：原式=0（定理2的结果）
（定理
4)