数学建模主成分分析.ppt

数学建模主成分分析
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常见相关模型及其建模方法
2 . 专题求解模型
1 . 发散思维模型
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近几年赛题 为例
2009年A题 制动器试验台的控制方法分析
，每个样品都测量了两个
指标（X1，X2），在坐标系 中，观
察散点的分布，
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引例：
单独看这n个点的分量 ，它们沿着 方向和 方向都具有相近的离散性，如果仅考虑其中的任何一个分量，那么包含在另一分量中的信息将会损失，因此，直接舍弃某个分量不是“确定主成分”的有效办法。
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结论： 为第一主成分， 为第二主成分。
换个角度观察
事实上，散点的分布总有可能沿着某一个方向略显扩张，这里沿椭圆的长轴方向数据变化跨度就明显大于椭圆的短轴方向。
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结论： 为第一主成分， 为第二主成分。
换个角度观察
结论：长轴方向变量为第一主成分；短轴方向变量为第二主成分。
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结论： 为第一主成分， 为第二主成分。
当 新旧变量间夹角为 时，由坐标变换公式可得主成分获得的数学模型
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确定主成分的数学模型：
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推广一般主成分确定的模型
或
其中T是正交矩阵
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主成分满足的约束
要求：①Y的各分量是不相关的；②并且Y的第一个分量的方差是最大的；第二个分量的方差次之，……，等等。③为了保持信息不丢失，Y的各分量方差和与X的各分量方差和相等。
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主成分的方差及它们的协方差
其中 表示方差，Cov表示协方差， 这里X是多维随机向量，D（X）则表述的是X的协方差阵，一般用
其中 表示方差，Cov表示协方差， 这里X是多维随机向量，D（X）则表述的是X的协方差阵，一般用
其中 表示方差，Cov表示协方差， 这里X是多维随机向量，D（X）则表述的是X的协方差阵，一般用
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所以协方差矩阵是对称矩阵，且为非负定的！
复习：关于随机向量的协方差矩阵
的协方差矩阵为
的协方差矩阵为
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第一主成分求法
Y1的方差
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第二主成分及第k主成分满足条件
考虑到Y2 =t21x1+t22x2 + t23x3 +... +tp1xp = T'2X ,及我们的准则
考虑到Y2 =t21x1+t22x2 + t23x3 +... +tp1xp = T'2X ,及我们的准则
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第二主成分及第k主成分求法
表明 是∑的特征值，T'2为特征向量
גּ
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第 主成分求法
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结论：
思考：总信息量不变吗？
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主成分保持信息总量不少
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主成分个数确定的标准
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主成分个数确定的标准
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主成分分析的步骤
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样本阵 , 其中 是样本容量即评价对象， 是评价指标个数， 是第 个样本中采集的第 项评价指标值。
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为克服单位差异对评价结果的影响，须将指标标准化
其中
,
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（也是样本阵的相关系数阵？）
可证，由标准化后得到的矩阵 ，而
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的权值公式：