2021年全国高考数学压轴题新高考全国Ⅱ卷-.docx

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2021年普通高等学校招生全国统一考试(新高考
全国II卷)压轴题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案
正确填写在答题卡上
(x)的定义域为R, f (x+2)为偶函数理解说明(2)问结论的实际含义.
本题考查了样本估计总体的应用，事件概率的理解和应用，数学期望公式的运用，考查了逻辑推 理能力与运算能力，属于中档题.
解：(I )解：由题意，Po—, Pi—, Pi—, Pi—,
故 E (X) =0X +1 +2X +3 X = 1 ；
(II )证明：由题意可知，po+“l+p2+p3=l,则 E (X) =pi+2p2+3p3,
所以 pO+piX+pVT+p^ =X, 变形为 po - (1 - pi) x+p2X1+p3Xi = 0,
所以 - (po+p2+p3 ) x=0,
即 po ( 1 - X)+pix(X - 1) +p3尤(X - 1) (x+l ) =0,
即(X - 1) [P3X2+ (p2+p3)X- p0]=0,
令 f(X)=p3X2+ (〃2+p3)X - po,
则f (x)的对称轴为x=业色<0，
2p3
注意到 f (0) =-po<O, / (1) =2p3+p2-po=pi+2p2+3p3 T=E(X) - 1,
当E (X) W1时，/ (1) WO, f (x)的正实根xoNl,原方程的最小正实根p=l,
当E (X) >1时，/ (1) >0, f (x)的正实根xo<l,原方程的最小正实根p=xo<l；
(III)解：当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近 灭绝；
当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能.
f (x) = (x - 1) - axP'+b.
(I )讨论f (x)的单调性；
(II)从下面两个条件中选一个，证明：f (x)有一个零点.
2
①—, b>2a；
2
本题考查了分类讨论函数的单调性及函数的零点问题，考查零点存在定理，属于难题.
解：(I ) ■:f (x) = (x - 1) / - f (x) =x (矿-2q),
当 gWO 时，当 x>0 时，f (x) >0,当尤VO 时，f (x) <0, :.f (x)在(-8, 0)上单调递减，在(0, +8)上单调递增，
当。>0 时，令 f (x) =0,可得 ％=0 或 x=lrila,
(。当0<a<-时，
2
当工>0 或 x<ln2a 时，f (x) >0,当 ln2a<x<0 时，f (x) <0,
:.f (x)在(- 8,加2q) , (0, +8)上单调递增，在(加2s 0)上单调递减,
(n) 时，
2
f (x) =x (/-I) NO 且等号不恒成立，.*./ (x)在R上单调递增，
(Hi)当 a>-l时，
当 x<0 或 x>ln2a 时，f (x) >0,当 0<x〈ln2a 时，f (x) <0, f (x)在(-8, o), (ln2a, + °°)上单调递增，在(0,加2a)上单调递减.
综上所述：
当时，f(X)在(-8, 0)上单调递减；在(0, +8)上单调递增；
当0<a<—时，f(x)在(-8,所2”)和(0, +8)上单调递增；在(Irila, 0)上单调 2
递减；
当 1时，f(X)在R上单调递增；
2
当a>A时，/■(》)在(-8, o)和(心,+8)上单调递增；在(0,所2a)上单调递 2
减.
(II)证明：若选①，由(I)知,f 在(-8,0)上单调递增，(0, Mia)单调递减,
(hila, +8)上/' (x)单调递增.
:.f (x)在
注意到
-1) e
0,
f(0)=b-l>2a-l>(-
,0］上有一个零点;
f (ln2a) — (Inla - 1) 2a - a - ln~2a+b>2aln2a - 2a - alrrla+la—alnla (2 - Irila'),
2
由 —<^a<——得 0〈ln2a<2, aln2a (2 - ln2a) >0,
2
:.f (Zn2a) >0,当 x>0 时，f (x)(ln2a) >0,此时 f (x)无零点.
综上：/(x)在R上仅有一个零点.
若选②，则由(I )知：f(X)在(-8, m2a)上单调递增，在(.ln2a, 0)上单调递减，在(0, +8)上单调递增.
f (Inla) = {Inla - 1) 2a - alr